Question

已知直二面角α-AB-β中，S∈平面α，C∈平面β，∠ACB=90°，SA⊥AB，AD⊥SC于D，
（1）求證：AD⊥平面SBC，
（2）若SA=1，SB=

5

，直線SC與平面β所成角為30°，求直線SC與平面α所成角的正弦值．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與平面所成的角,直線與平面垂直的判定

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：（1）由已知條件，先推導(dǎo)出利用直線與平面垂直的判定理，推導(dǎo)出BC⊥面SAC，從而得到AD⊥BC，由此能夠證明AD⊥平面SBC．
（2）由已知條件，過點(diǎn)C作CE⊥面α，交AB于點(diǎn)E，則∠CSE是直線SC與平面α所成角，由此能求出直線SC與平面α所成角的正弦值．

解答： 解：（1）直二面角α-AB-β中，S∈平面α，C∈平面β，∠ACB=90°，
∵SA⊥AB，AD⊥SC于D，∴SA⊥β，
∵BC?β，∴BC⊥SA，
∵∠ACB=90°，∴AC⊥BC，
∵SA∩AC=A，∴BC⊥面SAC，
∵AD?面SAC，∴AD⊥BC，
∵AD⊥SC于D，BC∩SC=C，
∴AD⊥平面SBC．
（2）過點(diǎn)C作CE⊥面α，
∵α-AB-β是直二面角，∴E∈AB，
連結(jié)SE，則∠CSE是直線SC與平面α所成角，
∵SA=1，SB=

5

，SA⊥β，∠ACB=90°，
∴AB=

5-1

=2，
∵直線SC與平面β所成角為30°，
∴SC=2SA=2，
∴AC=

22-12

=

3

，
∴BC=

22-( 3 )2

=1，
∵S_△ABC=

1

2

•AC•BC=

1

2

•AB•CE
∴CE=

AC•BC

AB

=

3

2

，
∴sin∠CSE=

SE

SC

=

2 2

2

=

2

4

，
∴直線SC與平面α所成角的正弦值為

2

4

．

點(diǎn)評：本題考查直線與平面垂直的證明，考查直線與平面所成角的正弦值的求法，解題時(shí)要合理地化空間問題為平面問題．