Question

已知，橢圓C過(guò)點(diǎn)A（1，

3

2

），兩個(gè)焦點(diǎn)為（-1，0），（1，0）
（1）求橢圓C的方程；
（2）E，F(xiàn)是橢圓C上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，如果只想AE的斜率與AF的斜率互為相反數(shù)，證明直線EF的斜率為定值，并求出這個(gè)定值．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問(wèn)題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問(wèn)題

分析：（1）設(shè)橢圓方程為

x2

a2

+

y2

a2-1

=1，把點(diǎn)A（1，

3

2

）代入，能求出橢圓方程．
（2）設(shè)E（x₁，y₁），F(xiàn)（x₂，y₂），直線AE的斜率為k，則直線AE的方程為y=k（x-1）+

3

2

，代入3x²+4y²=12，得(3+4k2)x2+4k(3-2k)x+4(

3

2

-k)2-12=0，由此入手能證明直線EF的斜率為定值，并能求出這個(gè)定值．

解答： （1）解：∵橢圓C過(guò)點(diǎn)A（1，

3

2

），兩個(gè)焦點(diǎn)為（-1，0），（1，0），
∴設(shè)橢圓方程為

x2

a2

+

y2

a2-1

=1，
把點(diǎn)A（1，

3

2

）代入，得：

1

a2

+

9 4

a2-1

=1，
解得a²=4或a²=

1

4

．
∴橢圓方程為

x2

4

+

y2

3

=1．
（2）證明：設(shè)E（x₁，y₁），F(xiàn)（x₂，y₂），直線AE的斜率為k，
則直線AE的方程為y=k（x-1）+

3

2

，代入3x²+4y²=12，
得(3+4k2)x2+4k(3-2k)x+4(

3

2

-k)2-12=0，
則x1+1=

4k(2k-3)

3+4k2

=

8k2-12k

3+4k2

，
x1=

4k2-12k-3

3+4k2

=

4(k- 3 2 )2-12

3+4k2

，
y1=k(x1-1)+

3

2

，
∵AF的斜率與AE的斜率互為相反數(shù)，
以-k代替k，得：
x2=

4(k+ 3 2 )2-12

3+4k2

，
y2=-k(x2-1)+

3

2

，
∴k_EF=

y2-y1

x2-x1

=

-k(x2+x1)+2k

x2-x1

=

1

2

，為定值．

點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓方程的求法，考查直線的斜率為定值的證明，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意函數(shù)與方程思想的合理運(yùn)用．