Question

11．y=2sin$\frac{x}{2}$+$\frac{π}{3}$的值域?yàn)閇-2+$\frac{π}{3}$，2+$\frac{π}{3}$]，當(dāng)y取最大值時(shí)，x=x=π+4kπ，k∈Z；當(dāng)y取最小值時(shí)，x=x=-π+4kπ，k∈Z，周期為4π，單調(diào)遞增區(qū)間為[-π+4kπ，π+4kπ]，k∈Z；單調(diào)遞減區(qū)間為[π+4kπ，3π+4kπ]，k∈Z．

Answer 1

分析 根據(jù)正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)，結(jié)合給定函數(shù)解析式中振幅，頻率，可得答案．

解答 解：∵sin$\frac{x}{2}$∈[-1，1]，
∴y=2sin$\frac{x}{2}$+$\frac{π}{3}$∈[-2+$\frac{π}{3}$，2+$\frac{π}{3}$]，
∴函數(shù)y=2sin$\frac{x}{2}$+$\frac{π}{3}$的值域?yàn)閇-2+$\frac{π}{3}$，2+$\frac{π}{3}$]，
當(dāng)y取最大值時(shí)，$\frac{x}{2}$=$\frac{π}{2}$+2kπ，k∈Z，即x=π+4kπ，k∈Z，
當(dāng)y取最小值時(shí)，x=-$\frac{π}{2}$+2kπ，k∈Z，即x=-π+4kπ，k∈Z，
由ω=$\frac{1}{2}$，可得T=$\frac{2π}{\frac{1}{2}}$=4π，
由$\frac{x}{2}$∈[-$\frac{π}{2}$+2kπ，$\frac{π}{2}$+2kπ]，k∈Z得：x∈[-π+4kπ，π+4kπ]，k∈Z，
故函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為[-π+4kπ，π+4kπ]，k∈Z，
由$\frac{x}{2}$∈[$\frac{π}{2}$+2kπ，$\frac{3π}{2}$+2kπ]，k∈Z得：x∈[π+4kπ，3π+4kπ]，k∈Z，
故函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為[π+4kπ，3π+4kπ]，k∈Z，
故答案為：[-2+$\frac{π}{3}$，2+$\frac{π}{3}$]；x=π+4kπ，k∈Z；x=-π+4kπ，k∈Z；4π；[-π+4kπ，π+4kπ]，k∈Z；[π+4kπ，3π+4kπ]，k∈Z．

點(diǎn)評(píng) 本題考查的知識(shí)點(diǎn)是正弦函數(shù)的圖象，熟練掌握函數(shù)的最值，振幅的關(guān)系及正弦函數(shù)的單調(diào)性是解答的關(guān)鍵．