Question

1．已知定義在R上的函數(shù)f（x）對(duì)任意實(shí)數(shù)x，y，恒有f（x）+f（y）=f（x+y），且當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）＜0，又f（1）=-$\frac{2}{3}$．
（1）求證：f（x）為奇函數(shù)；
（2）求證：f（x）在R上是減函數(shù)；
（3）求不等式f（2x）+f（x²-2）＜-4的解集．

Answer 1

分析 （1）分別取x=y=0，和y=-x可得f（0）=0，進(jìn)而可得f（-x）=-f（x），可判f（x）為奇函數(shù)；
（2）任取x₁，x₂∈R，且x₁＜x₂，可得f（x₂）-f（x₁）=f（x₂）+f（-x₁）=f（x₂-x₁），結(jié)合已知可判f（x₂）-f（x₁）＜0，可得單調(diào)性；
（3）先利用恒等式對(duì)所給的不等式進(jìn)行化簡(jiǎn)，再利用函數(shù)的單調(diào)性即可解出不等式的解集．

解答 解：（1）由題意結(jié)合x，y的任意性，
取x=y=0，可得f（0）+f（0）=f（0），解得f（0）=0，
取y=-x，可得f（x）+f（-x）=f（0）=0，即f（-x）=-f（x）
故f（x）為奇函數(shù)；
（2）任取x₁，x₂∈R，且x₁＜x₂，
則f（x₂）-f（x₁）=f（x₂）+f（-x₁）=f（x₂-x₁）
∵x₁＜x₂，∴x₂-x₁＞0，∴f（x₂-x₁）＜0
∴f（x₂）-f（x₁）＜0，f（x₂）＜f（x₁），
故函數(shù)f（x）在R上為減函數(shù)；
（3）取x=y=1，可得f（1）+f（1）=f（2）=2f（1）=-$\frac{4}{3}$，
取x=1，y=2可得f（1）+f（2）=f（3）=-$\frac{2}{3}$-$\frac{4}{3}$=-2，
取x=y=3，可得f（6）=f（3）+f（3）=-4，
∵f（2x）+f（x²-2）＜-4，
∴f（2x+x²-2）＜f（6），
∵函數(shù)f（x）在R上為減函數(shù)，
∴2x+x²-2＞6，
解得x＜-4或x＞2，
∴原不等式的解集為（-∞，-4）∪（2，+∞）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)奇偶性與單調(diào)性的證明及綜合利用此兩性質(zhì)解抽象不等式，考查了推理判斷能力及運(yùn)算能力，綜合性較強(qiáng)