Question

已知函數(shù)f₁（x）=e^|x-2a+1|，f₂（x）=e^|x-a|+1，x∈R，1≤a≤6．
（1）若a=2，求使f₁（x）=f₂（x）的x的值；
（2）若|f₁（x）-f₂（x）|=f₂（x）-f₁（x）對于任意的實數(shù)x恒成立，求a的取值范圍；
（3）求函數(shù)g（x）=

f1(x)+f2(x)

2

-

|f1(x)-f2(x)|

2

在[1，6]上的最小值．

Answer 1

考點：指數(shù)函數(shù)綜合題,指數(shù)型復合函數(shù)的性質(zhì)及應用

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應用

分析：（1）若a=2，解方程f₁（x）=f₂（x）即可求x的值；
（2）若|f₁（x）-f₂（x）|=f₂（x）-f₁（x）對于任意的實數(shù)x恒成立，轉(zhuǎn)化為f₁（x）≤f₂（x）恒成立，即可求a的取值范圍；
（3）求出g（x）的表達式，討論a的取值范圍即可求出函數(shù)的最值．

解答： 解：（1）若a=2，則f₁（x）=e^|x-3|，f₂（x）=e^|x-2|+1，
由f₁（x）=f₂（x）得e^|x-3|=e^|x-2|+1，
即|x-3|=|x-2|+1，
若x≥3，則方程等價為x-3=x-2+1，即-3=-1，不成立，
若2＜x＜3，則方程等價為-x+3=x-2+1，即2x=4，解得x=2，不成立，
若x＜2，則方程等價為-x+3=-x+2+1，此時恒成立；
綜上使f₁（x）=f₂（x）的x的值滿足x＜2．
（2）即f₁（x）≤f₂（x）恒成立，得|x-2a+1|≤|x-a|+1，
即|x-2a+1|-|x-a|≤1對x∈R恒成立，
因|x-2a+1|-|x-a|≤|a-1|，
故只需|a-1|≤1，解得0≤a≤2，
又1≤a≤6，
故a的取值范圍為1≤a≤2．
（3）g(x)=

f1(x)，f1(x)≤f2(x) f2(x)，f1(x)＞f2(x).

①當1≤a≤2時，由（2）知g(x)=f1(x)=e|x-2a+1|，
當x=2a-1∈[1，3]時，g（x）_min=1．
②當2＜a≤6時，（2a-1）-a=a-1＞0，
故2a-1＞a．x≤a時，f1(x)=e-x+(2a-1)＞e-x+a+1=f2(x)，g(x)=f2(x)=e|x-a|+1；
x≥2a-1時，f1(x)=ex-(2a-1)＜ex-a+1=f2(x)，g(x)=f1(x)=e|x-2a+1|；
a＜x＜2a-1時，由f1(x)=e-x+(2a-1)≤ex-a+1=f2(x)，得x≥

3a-2

2

，其中a＜

3a-2

2

＜2a-1，
故當

3a-2

2

≤x＜2a-1時，g(x)=f1(x)=e|x-2a+1|；
當a＜x＜

3a-2

2

時，g(x)=f2(x)=e|x-a|+1．
因此，當2＜a≤6時，g(x)=

f1(x)，x≥ 3a-2 2 f2(x)，x＜ 3a-2 2 .

令f1(x)=e|x-2a+1|=e，得x₁=2a-2，x₂=2a，且

3a-2

2

＜2a-2，如圖，
（�。┊攁≤6≤2a-2，即4≤a≤6時，g（x）_min=f₂（a）=e；
（ⅱ） 當2a-2＜6≤2a-1，即

7

2

≤a＜4時，g(x)min=f1(6)=e2a-7；
（ⅲ） 當2a-1＜6，即2＜a＜

7

2

時，g（x）_min=f₁（2a-1）=1．
綜上所述，g(x)min=

1，(1≤a＜ 7 2 ) e2a-7，( 7 2 ≤a＜4) e，(4≤a≤6).

．

點評：本題主要考查函數(shù)性質(zhì)的應用，利用指數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)是解決本題的關鍵．綜合性較強，運算量較大，有一定的難度．