Question

把正整數(shù)排列成三角形數(shù)陣（如圖甲），然后擦去第偶數(shù)行中的奇數(shù)和第奇數(shù)行中的偶數(shù)，得到新的三角形數(shù)陣（如圖乙），再把圖乙中的數(shù)按從小到大的順序排成一列，得到一個(gè)數(shù)列{a_n}，則a₁₀₀=   

Answer 1

【答案】分析：觀察圖乙中的事三角形數(shù)陣，發(fā)現(xiàn)第K（K是正整數(shù)）行最后一個(gè)數(shù)對(duì)應(yīng)的序號(hào)是，然后解不等式100，得到符合題意的最小整數(shù)K=14，由此可得a₁₀₀應(yīng)該在第14行．再觀察數(shù)陣甲中與數(shù)陣乙中每行的首項(xiàng)數(shù)是相同的，不難由數(shù)陣甲得出第14行的第一個(gè)數(shù)，再轉(zhuǎn)到數(shù)陣乙中找出a₁₀₀即可．
解答：解：設(shè)圖乙中第K行的最后一個(gè)數(shù)對(duì)應(yīng)的序號(hào)為X_K，不難由等差數(shù)列的求和公式得出
X_K=，（K=1，2，3，…）
解不等式100，得最小正整數(shù)K=14，
說明a₁₀₀在數(shù)陣乙的第14行，并且可以算得是第14行的第9個(gè)數(shù)
又因?yàn)閿?shù)陣甲中與數(shù)陣乙中每行的首項(xiàng)數(shù)是相同的，在數(shù)陣甲中的每一行第一個(gè)數(shù)有如下規(guī)律：
2-1=1
5-2=3
10-5=5
…
b₁₄-b₁₃=2×13-1=25
累加，得b₁₄-1=1+3+5+…+25=169，所以b₁₄=170
數(shù)陣乙的第14行的第一個(gè)數(shù)也是170，往后數(shù)到第9項(xiàng)，按遞增2的規(guī)律得：a₁₀₀=170+2×8=186
故答案為：186
點(diǎn)評(píng)：本題以等差數(shù)列的三角形數(shù)陣為載體，考查了數(shù)列在實(shí)際生活中的應(yīng)用，屬于難題．觀察對(duì)比兩圖形中的相同點(diǎn)與不同點(diǎn)，合理利用這此關(guān)系并結(jié)合等差數(shù)列的求和公式與通項(xiàng)公式，是解決本問題的關(guān)鍵．