精英家教網(wǎng)如圖,已知⊙O的半徑為1,點(diǎn)C在直徑AB的延長(zhǎng)線上,BC=1,點(diǎn)P是半圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),以PC為邊作正三角形PCD,且點(diǎn)D與圓心分別在PC兩側(cè).
(1)若∠POB=θ,試將四邊形OPDC的面積y表示成θ的函數(shù);
(2)求四邊形OPDC面積的最大值?
分析:(1)先利用余弦定理求出PC的值,再將四邊形OPDC的面積分解成兩個(gè)三角形的面積的和,從而得到y(tǒng)關(guān)于θ的函數(shù);
(2)由(1)知y=2sin(θ-
π
3
)+
5
3
4
,利用三角函數(shù)的值域可求最值.
解答:
解:(1)在△OPC中,由余弦定理得
PC2=OP2+OC2-2OP•OC•cosθ
       =1+4-4cosθ=5-4cosθ.
y=S△OPC+S△PDC
  =
1
2
•OP•OC•sinθ+
3
4
PC2
  =sinθ-
3
cosθ+
5
3
4
(0<θ<π)…7分

(2)y=sinθ-
3
cosθ+
5
3
4
 =2sin(θ-
π
3
)+
5
3
4

當(dāng)θ=
6
時(shí),y max=2+
5
3
4
點(diǎn)評(píng):本題將三角函數(shù)與解三角形結(jié)合起來(lái),關(guān)鍵是利用余弦定理求邊,再求面積,三角函數(shù)求最值應(yīng)注意角的范圍.
練習(xí)冊(cè)系列答案
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如圖,已知⊙O的半徑為2,弦AB的長(zhǎng)為2
3
,點(diǎn)C是劣弧ACB上任一點(diǎn),(點(diǎn)C不與A、B重合),求∠ACB.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

選修4-1:幾何證明選講
如圖,已知⊙O的半徑為1,MN是⊙O的直徑,過(guò)M點(diǎn)作⊙O的切線AM,C是AM的中點(diǎn),AN交⊙O于B點(diǎn),若四邊形BCON是平行四邊形;
(Ⅰ)求AM的長(zhǎng);
(Ⅱ)求sin∠ANC.

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(Ⅰ)求AM的長(zhǎng);

(Ⅱ)求sin∠ANC.

 

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