Question

已知定義域為R的函數(shù)f（x）=

b-2x

a+2x+1

是奇函數(shù)．
（1）求a，b的值；
（2）判斷函數(shù)f（x）的單調(diào)性，并用函數(shù)的單調(diào)性定義證明；
（3）若對于任意x∈[

1

2

，3]都有f（kx²）+f（2x-1）＞0成立，求實數(shù)k的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)奇偶性的性質(zhì),函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明,函數(shù)恒成立問題

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）根據(jù)奇函數(shù)的性質(zhì)得：f（0）=0和f（-1）=-f（1），列出方程組，求出a、b的值；
（2）由（1）求出解析式并化簡，判斷出函數(shù)的單調(diào)性，再利用單調(diào)性的定義進(jìn)行證明；
（3）利用奇函數(shù)的性質(zhì)將不等式進(jìn)行轉(zhuǎn)化，再由單調(diào)性列出關(guān)于x的不等式，由x的范圍分離出常數(shù)k，再構(gòu)造函數(shù)g(x)=

1-2x

x2

，利用換元法、二次函數(shù)的性質(zhì)求出函數(shù)的最小值．

解答： 解：（1）因為f（x）在定義域為R上是奇函數(shù)，所以f（0）=0，
即

-1+b

2+a

=0，解得b=1，
又由f（-1）=-f（1），即

1- 1 2

a+1

=-

1-2

a+22

，解得a=2…（4分）
（2）由（1）知f（x）=

1-2x

2+2x+1

=-

1

2

+

1

2x+1

，則f（x）在（-∞，+∞）上為減函數(shù)，
任取x₁、x₂∈R，設(shè)x₁＜x₂，
則f（x₁）-f（x₂）=

1

2x1+1

-

1

2x2+1

=

2x2-2x1

(2x1+1)(2x2+1)

因為函數(shù)y=2^x在R上是增函數(shù)，且x₁＜x₂，則2x2-2x1＞0，
又(2x1+1)(2x2+1)＞0，所以f（x₁）-f（x₂）＞0，即f（x₁）＞f（x₂），
∴f（x）在（-∞，+∞）上為減函數(shù)…（8分）
（3）因為f（x）是奇函數(shù)，所以不等式：f（kx²）+f（2x-1）＞0
等價于f（kx²）＞-f（2x-1）=f（1-2x），…（8分）
因f（x）為減函數(shù)，由上式推得：kx²＜1-2x．
即對一切x∈[

1

2

，3]有：k＜

1-2x

x2

恒成立，…（10分）
設(shè)g(x)=

1-2x

x2

=

1

x2

-

2

x

，令t=

1

x

，t∈[

1

3

，2]，
則有g(shù)（t）=t²-2t，t∈[

1

3

，2]，
所以g（x）_min=g（t）_min=g（1）=1，則k＜-1，
即k的取值范圍為（-∞，-1）…（12分）

點(diǎn)評：本題考查函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性的應(yīng)用，二次函數(shù)的性質(zhì)，以及恒成立問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值問題，考出分離常數(shù)法、換元法、待定系數(shù)法等，綜合性較強(qiáng)．