Question

如圖所示的六面體，面ABC∥面A₁B₁C₁，AA₁⊥面ABC，AA₁=A₁C₁=2AB=2A₁B₁=2AC=2，AD⊥DC₁，D為BB₁的中點．
（1）求證：AB⊥AC；
（2）求二面角B-CC₁-A的余弦值；
（3）設點E是平面A₁B₁C₁內的動點，求ED+EC的最小值．

Answer 1

考點：與二面角有關的立體幾何綜合題,空間中直線與直線之間的位置關系

專題：空間位置關系與距離

分析：（1）連結DA₁，由已知條件推導出A₁C₁⊥面ABB₁A₁，從而得到A₁C₁⊥A₁B₁，由此能證明AB⊥AC．
（2）建立空間直角坐標系，利用向量法能求出二面角B-CC₁-A的余弦值．
（3）設點D關于面A₁B₁C₁的對稱點為D′，由D（1，0，1），知D′（1，0，-1），再由ED+EC≥CD′，能求出ED+EC的最小值．

解答： （1）證明：連結DA₁，由題意得平面ABB₁A₁為矩形，
∵AA₁=A₁C₁=2AB=2A₁B₁=2AC=2，D為BB₁的中點，
∴AD=DA₁=

2

，∴AD⊥DA₁，
∵AD⊥DC₁，A₁D∩DC₁=D，
∴AD⊥面DC₁A₁，∴AD⊥A₁C₁，
∵面ABC∥面A₁B₁C₁，AA₁⊥面ABC，
∴A₁C₁⊥AA₁，
∴A₁C₁⊥面ABB₁A₁，∴A₁C₁⊥A₁B₁，
∴AB⊥AC．
（2）解：如圖建立空間直角坐標系，
由題意知：B（1，0，2），C（0，1，2），
C₁（0，2，0），
∴

BC

=(-1，1，0)，

CC1

=(0，1，-2)，
設面BCC₁的法向量

n

=（x，y，z），
則

n • BC =-x+y=0 n • CC1 =y-2z=0

，取x=2，得

n

=(2，2，1)，
由題意知面AA₁C₁C的法向量為

m

=(1，0，0)，
∵cos＜

m

，

n

＞=

2

9

=

2

3

，
∴二面角B-CC₁-A的余弦值為

2

3

．
（3）解：設點D關于面A₁B₁C₁的對稱點為D′，
∵D（1，0，1），∴D′（1，0，-1），∴

CD′

=（-1，1，3）
∵ED+EC≥CD′，|

CD′

|=

11

，
∴ED+EC的最小值為

11

．

點評：本題考查異面直線垂直的證明，考查二面角的余弦值的求法，考查兩條線段和的最小值的求法，解題時要認真審題，注意等價轉化思想的合理運用．