Question

以下命題正確的為（　　）

A．有兩個相鄰的側(cè)面是矩形的棱柱是直棱柱

B．有一個側(cè)面是矩形的棱柱是直棱柱

C．底面是正多形的棱錐是正棱錐

D．正棱錐各側(cè)面與底面所成的二面角不一定都相等

Answer 1

分析：根據(jù)直棱柱的定義，結(jié)合直線與平面垂直的判定定理，可以證明出A項是正確的．再分別說明其它各項的錯誤原因：根據(jù)直棱柱的定義與性質(zhì)，舉出反例可以說明B項是錯誤的；根據(jù)正棱錐的定義，舉出反可以例說明C項是錯誤的；最后根據(jù)正棱錐的定義與性質(zhì)，可證出各側(cè)面與底面所成角的正弦相等，從而得到各側(cè)面與底面所成的二面角相等，所以
D項錯誤．

解答：解：對于A，如圖，設(shè)四棱錐ABCD-A₁B₁C₁D₁中，若側(cè)面ABB₁A₁和BCC₁B₁都矩形，則
∵BB₁⊥AB，BB₁⊥CB，AB∩BC=B，AB、BC?底面ABCD
∴BB₁⊥底面ABCD
可得四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁是直棱柱，故A正確；
對于B，如果棱柱只有一個側(cè)面是矩形，而其它的側(cè)面不是矩形，
則這個棱柱就不是直棱柱，故B錯誤；
對于C，若棱錐底面是正多形，但頂點在底面的射影不是底面正多邊形的中心，則不符合正棱錐的定義，因此這個棱錐不是正棱錐，故C錯誤；
對于D，若一個棱錐是正棱錐，則它的底面是正多邊形，且頂點在底面的射影是底面正多邊形的中心，
作出正棱錐一個側(cè)面等腰三角形的高，
則這個側(cè)面與底面所成角的正弦值等于正棱錐的高與側(cè)面等腰三角形的高的比值，
由于正棱錐各個側(cè)面是全等的等腰三角形，所以各側(cè)面與底面所成角的正弦相等，
因為各側(cè)面與底面所成的二面角是銳角，故正棱錐各側(cè)面與底面所成的二面角相等
故D錯誤．
故選A

點評：本題以命題真假的判斷與應(yīng)用為載體，著重考查了直棱柱、正棱錐的定義與性質(zhì)，考查了基本概念的理解與空間想象力，屬于基礎(chǔ)題．