1.已知E(2,2)是拋物線C:y2=2px上一點(diǎn),經(jīng)過點(diǎn)(2,0)的直線l與拋物線C交于A,B兩點(diǎn)(不同于點(diǎn)E),直線EA,EB分別交直線x=-2于點(diǎn)M,N.
(Ⅰ)求拋物線方程及其焦點(diǎn)坐標(biāo);
(Ⅱ)求證:OM與ON相互垂直.

分析 (Ⅰ)將E(2,2)代入y2=2px,得p,然后求解拋物線方程,焦點(diǎn)坐標(biāo).
(Ⅱ)設(shè)$A(\frac{y_1^2}{2},{y_1})$,$B(\frac{y_2^2}{2},{y_2})$,M(xM,yM),N(xN,yN),直線l不經(jīng)過點(diǎn)E,所以直線l的斜率一定存在,設(shè)直線l方程為y=k(x-2),聯(lián)立 $\left\{\begin{array}{l}y=k(x-2)\\{y^2}=2x\end{array}\right.$,通過韋達(dá)定理,求解直線AE的方程求出M,N坐標(biāo),利用向量的數(shù)量積為0,證明OM⊥ON.

解答 解:(Ⅰ)將E(2,2)代入y2=2px,得p=1…(2分)
所以拋物線方程為y2=2x,焦點(diǎn)坐標(biāo)為$(\frac{1}{2},0)$…(4分)
(Ⅱ)設(shè)$A(\frac{y_1^2}{2},{y_1})$,$B(\frac{y_2^2}{2},{y_2})$,M(xM,yM),N(xN,yN),
因?yàn)橹本l不經(jīng)過點(diǎn)E,所以直線l的斜率一定存在,
設(shè)直線l方程為y=k(x-2)…(5分)
與拋物線方程聯(lián)立得到 $\left\{\begin{array}{l}y=k(x-2)\\{y^2}=2x\end{array}\right.$
消去x,得:ky2-2y-4k=0…(6分)
則由韋達(dá)定理得:${y_1}{y_2}=-4,\;{y_1}+{y_2}=\frac{2}{k}$…(7分)
直線AE的方程為:$y-2=\frac{{{y_1}-2}}{{\frac{y_1^2}{2}-2}}({x-2})$,即$y=\frac{2}{{{y_1}+2}}({x-2})+2$
令x=-2,得${y_M}=\frac{{2{y_1}-4}}{{{y_1}+2}}$…(8分)
同理可得:${y_N}=\frac{{2{y_2}-4}}{{{y_2}+2}}$…(9分)
又 $\overrightarrow{OM}=(-2,{y_M}),\overrightarrow{ON}=(-2,{y_N})$,
所以$\overrightarrow{OM}•\overrightarrow{ON}=4+{y_M}{y_N}=4+\frac{{2{y_1}-4}}{{{y_1}+2}}•\frac{{2{y_2}-4}}{{{y_2}+2}}$…(10分)
=$4+\frac{{4[{y_1}{y_2}-2({y_1}+{y_2})+4]}}{{[{y_1}{y_2}+2({y_1}+{y_2})+4]}}$=4+$\frac{4(-4-\frac{4}{k}+4)}{-4+\frac{4}{k}+4}$=0…(11分)
所以O(shè)M⊥ON…(12分)

點(diǎn)評 本題考查拋物線的簡單性質(zhì)的應(yīng)用,直線與拋物線的位置關(guān)系的綜合應(yīng)用,考查轉(zhuǎn)化思想以及計算能力.

練習(xí)冊系列答案
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:填空題

13.已知曲線$y=\frac{|x|}{e^x}$在x=-1處的切線和它在x=x0(x0>0)處的切線互相垂直,設(shè)${x_0}∈(\frac{m}{4},\frac{m+1}{4}),m∈Z$,則m=2.

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12.已知f(x)=tan(2x+$\frac{π}{4}$),則使f(x)≥$\sqrt{3}$成立的x的集合是( 。
A.[$\frac{π}{24}$+$\frac{1}{2}$kπ,$\frac{π}{8}$+$\frac{1}{2}$kπ),k∈ZB.(-$\frac{π}{8}$+$\frac{1}{2}$kπ,$\frac{π}{24}$+$\frac{1}{2}$kπ),k∈Z
C.[$\frac{π}{24}$+kπ,$\frac{π}{8}$+kπ),k∈ZD.[$\frac{π}{24}$+kπ,$\frac{π}{8}$+kπ],k∈Z

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9.已知函數(shù)f(x)=(x+1)ex,f'(x)為f(x)的導(dǎo)函數(shù),則f'(0)的值為2.

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16.給出以下命題:
①若方程x2+2x+m=0有實(shí)根,則m≤2;
②若雙曲線$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1({a>0,b>0})$的一條漸近線斜率為2,則其離心率為$\sqrt{5}$;
③在銳角△ABC中,一定sinA>cosB成立;
④秦九韶算法的特點(diǎn)在于把求一個n次多項(xiàng)式的值轉(zhuǎn)化為求n個一次多項(xiàng)式的值;
⑤隨機(jī)模擬方法的奠基人是蒙特卡羅.
其中正確的命題序號為①②③④.

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6.給出以下命題:
①若方程x2+2x+m=0有實(shí)根,則m≤2;
②若雙曲線$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1({a>0,b>0})$的一條漸近線斜率為2,則其離心率為$\sqrt{5}$;
③已知回歸直線的斜率的估計值為1.2,樣本點(diǎn)的中心為(4,5),則回歸直線方程為$\hat y=1.2x+0.2$;
④秦九韶算法的特點(diǎn)在于把求一個n次多項(xiàng)式的值轉(zhuǎn)化為求n個一次多項(xiàng)式的值;
⑤直線l:y=kx+1與圓O:x2+y2=1相交于A,B兩點(diǎn),則“k=1”是“△OAB的面積為$\frac{1}{2}$”必要不充分條件.
其中正確的命題序號為①②③④.

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13.函數(shù)$y=\frac{1}{3}{x^3}+b{x^2}+(b+2)x+3$在R上不是單調(diào)增函數(shù)則b范圍為( 。
A.(-1,2)B.(-∞,-1]∪[2,+∞)C.[-1,2]D.(-∞,-1)∪(2,+∞)

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10.設(shè)集合M={x|0≤x≤3},N={x|x2-3x-4<0},則M∩N=( 。
A.[-1,3]B.(-1,3)C.[0,3]D.[-1,4]

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11.設(shè)橢圓$\frac{x^2}{2}+{y^2}=1$的左、右焦點(diǎn)分別為F1、F2,點(diǎn)P在該橢圓上,則使得△F1F2P是等腰三角形的點(diǎn)P的個數(shù)是6.

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