已知等差數(shù)列{a
n}中，a
3+a
7＜2a
6且a
3，a
7是方程x
2-18x+65=0的兩根，數(shù)列{b
n}的前項和S
n=1-b
n．
（1）求數(shù)列{a
n}和{b
n}的通項公式；
（2）記c
n=a
nb
n，求數(shù)列{c
n}的前n項的和T
n，并證明
．
【答案】
分析：（1）先判斷數(shù)列{a
n}是遞增數(shù)列，可得a
3＜a
7．利用a
3，a
7是方程x
2-18x+65=0的兩根，即可求得公差
，從而可求數(shù)列{a
n}的通項公式；由S
n=1-b
n得，當(dāng)n=1時，
，當(dāng)n≥2時，b
n=S
n-S
n-1，即可求數(shù)列{b
n}的通項公式；
（2）由（1）得
，
，利用錯位相減法求和，即可證得．
解答：（1）解：由a
3+a
7=2a
5＜2a
6得a
5＜a
6，所以數(shù)列{a
n}是遞增數(shù)列．…（1分）
所以a
3＜a
7．由x
2-18x+65=0解得a
3=5，a
7=13…（2分）
公差
，所以a
n=a
3+（n-3）d=2n-1（n∈N
*）…（3分）
由S
n=1-b
n得，當(dāng)n=1時，
；…（4分）
當(dāng)n≥2時，b
n=S
n-S
n-1，得
…（5分）
所以{b
n}是首項為
，公比為
的等比數(shù)列，所以
…（6分）
（2）證明：由（1）得
，
…（7分）
所以由錯位相減法得
…（9分）
因為
所以{T
n}是遞增數(shù)列，所以
故
…（13分）
點評：本題考查根與系數(shù)的關(guān)系，考查數(shù)列的通項的求解，考查數(shù)列的求和與不等式的證明，解題的關(guān)鍵是正確求出數(shù)列的通項．
練習(xí)冊系列答案
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科目：高中數(shù)學(xué)
來源：
題型：
已知等差數(shù)列{an}，公差d不為零，a1=1，且a2，a5，a14成等比數(shù)列；
（1）求數(shù)列{an}的通項公式；
（2）設(shè)數(shù)列{bn}滿足bn=an•3n-1，求數(shù)列{bn}的前n項和Sn．
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科目：高中數(shù)學(xué)
來源：
題型：
已知等差數(shù)列{a
n}中：a
3+a
5+a
7=9，則a
5=
．
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科目：高中數(shù)學(xué)
來源：
題型：
已知等差數(shù)列{an}滿足：a5=11，a2+a6=18．
（1）求{an}的通項公式；
（2）若bn=an+q an（q＞0），求數(shù)列{bn}的前n項和Sn．
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科目：高中數(shù)學(xué)
來源：
題型：
已知等差數(shù)列{a
n}滿足a
2=0，a
6+a
8=-10
（1）求數(shù)列{a
n}的通項公式；
（2）求數(shù)列{|a
n|}的前n項和；
（3）求數(shù)列{
}的前n項和．
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科目：高中數(shù)學(xué)
來源：
題型：
已知等差數(shù)列{a
n}中，a
4a
6=-4，a
2+a
8=0，n∈N
*．
（Ⅰ）求數(shù)列{a
n}的通項公式；
（Ⅱ）若{a
n}為遞增數(shù)列，請根據(jù)如圖的程序框圖，求輸出框中S的值（要求寫出解答過程）．
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