Question

已知橢圓C的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，短軸長為4，且有一個焦點(diǎn)與拋物線的焦點(diǎn)重合．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）已知經(jīng)過定點(diǎn)M（2,0）且斜率不為0的直線交橢圓C于A、B兩點(diǎn)，試問在x軸上是否另存在一個定點(diǎn)P使得始終平分？若存在，求出點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

(Ⅰ) ；(Ⅱ) .

試題分析：(Ⅰ)設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：，先由已知條件“短軸長為”，求得，再由已知條件“有一個焦點(diǎn)與拋物線的焦點(diǎn)重合”，求得，則，從而得到橢圓方程；(Ⅱ)設(shè)直線方程為：，與橢圓方程聯(lián)立方程組求得(※)，假設(shè)存在定點(diǎn)使得始終平分，則有，將對應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)代入，結(jié)合直線方程以及(※)化簡求得，從而無論如何取值，只要就可保證式子成立，進(jìn)而得出點(diǎn)坐標(biāo).
試題解析：(Ⅰ)∵橢圓的短軸長為，
∴，解得，
又拋物線的焦點(diǎn)為，
∴，則，
∴所求橢圓方程為：．
(Ⅱ)設(shè)：，代入橢圓方程整理得：
則，假設(shè)存在定點(diǎn)使得始終平分，
則
①，
要使得①對于恒成立，則，
故存在定點(diǎn)使得始終平分，它的坐標(biāo)為．