Question

10．如圖，四棱錐P-ABCD的底面是邊長(zhǎng)為2的菱形，且∠BAD=60°，PA⊥平面ABCD，且PA=1，E，F(xiàn)分別是BC，PA的中點(diǎn)．
（Ⅰ）求證：BF∥平面PED；
（Ⅱ）求二面角P-DE-A的大小；
（Ⅲ）求點(diǎn)C到平面PED的距離．

Answer 1

分析 （Ⅰ）取AD的中點(diǎn)為G，連結(jié)BG，則BG∥ED，從而B(niǎo)G∥平面PDE，再由中位線定理得FG∥PD，從而FG∥平面PDE，進(jìn)而平面BFG∥平面PDE，由此能證明BF∥平面PED．
（Ⅱ）推導(dǎo)出DE⊥BC，DE⊥AD，DE⊥PD，從而∠PDA是二面角P-DE-A的平面角，由此能求出二面角P-DE-A的大�。�
（Ⅲ）點(diǎn)C到平面PDE的距離等于點(diǎn)B、點(diǎn)G到平面PDE的距離，過(guò)點(diǎn)G作GH垂直于PD，且與PD交于點(diǎn)H，GH的長(zhǎng)為點(diǎn)C到平面PED的距離，由此能求出點(diǎn)C到平面PED的距離．

解答 證明：（Ⅰ）取AD的中點(diǎn)為G，連結(jié)BG，則BG∥ED，
∴BG∥平面PDE，
△PAD中，F(xiàn)、G分別為所在邊的中點(diǎn)，∴FG∥PD，
∴FG∥平面PDE，
∴平面BFG∥平面PDE，∴BF∥平面PED．
解：（Ⅱ）∵菱形ABCD，∠BAD=60°，
∴△BCD是正三角形，E是BC中點(diǎn)，∴DE⊥BC，
∴DE⊥AD，
又∵PA⊥平面ABCD，∴DE⊥PD，
∴∠PDA是二面角P-DE-A的平面角，
在Rt△PAD中，tan∠PDA=$\frac{1}{2}$，
∴二面角P-DE-A的大小為arctan$\frac{1}{2}$．
（Ⅲ）∵BE=CE，BG∥平面PDE，
∴點(diǎn)C到平面PDE的距離等于點(diǎn)B、點(diǎn)G到平面PDE的距離，
過(guò)點(diǎn)G作GH垂直于PD，且與PD交于點(diǎn)H，
∵DE⊥AD，DE⊥PD，∴DE⊥平面PAD，∴DE⊥GH，
∴GH⊥平面PDE，
∴GH的長(zhǎng)為點(diǎn)C到平面PED的距離，
△PDA中，GH=$\frac{1}{2}×\frac{1×2}{\sqrt{1+{2}^{2}}}$=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，
∴點(diǎn)C到平面PED的距離為$\frac{\sqrt{5}}{5}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查線面平行的證明，考查二面角的大小的求法，考查點(diǎn)到平面的距離的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．