Question

14．已知函數(shù)f（x）=|lgx|，若方程f（x）=k有兩個不等的實根α，β，則$\frac{1}{α}+\frac{1}{β}$的取值范圍是（　�。�

• A． （1，+∞）
• B． [1，+∞）
• C． （2，+∞）
• D． [2，+∞）

Answer 1

分析 不妨設(shè)0＜α＜β，根據(jù)函數(shù)f（x）=|lgx|，方程f（x）=k有兩個不等的實根α，β，可得0＜α＜1＜β，-lgα=lgβ，可得αβ=1．再利“乘1法”與基本不等式的性質(zhì)即可得出．

解答 解：不妨設(shè)0＜α＜β，
∵函數(shù)f（x）=|lgx|，方程f（x）=k有兩個不等的實根α，β，
∴0＜α＜1＜β，
∴-lgα=lgβ，可得αβ=1．
則$\frac{1}{α}+\frac{1}{β}$=α+β＞2$\sqrt{αβ}$=2，
∴$\frac{1}{α}+\frac{1}{β}$的取值范圍是（2，+∞）．
故選：C．

點評 本題考查了函數(shù)的性質(zhì)、方程的根、基本不等式的性質(zhì)，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．