Question

設F₁，F(xiàn)₂分別為橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的左、右兩個焦點，若橢圓C上的點A（1，

3

2

）到F₁，F(xiàn)₂兩點的距離之和等于4．
（1）寫出橢圓C的方程和焦點坐標；
（2）過點P（1，

1

4

）的直線與橢圓交于兩點D、E，若DP=PE，求直線DE的方程；
（3）過點Q（1，0）的直線與橢圓交于兩點M、N，若△OMN面積取得最大，求直線MN的方程．

Answer 1

分析：（1）把已知點的坐標代入橢圓方程，再由橢圓的定義知2a=4，從而求出橢圓的方程，由橢圓的方程求出焦點坐標．
（2）設出DE方程，代入橢圓方程，利用中點坐標公式，求出斜率，即可求直線DE的方程；
（3）（3）直線MN不與y軸垂直，設MN方程為my=x-1，代入橢圓C的方程，求出△OMN面積，利用導數(shù)，確定單調(diào)性，可得面積最大值，從而可求直線MN的方程．

解答：解：（1）橢圓C的焦點在x軸上，
由橢圓上的點A到F₁、F₂兩點的距離之和是4，得2a=4，即a=2，
又點A（1，

3

2

） 在橢圓上，因此

1

22

+

3 4

b2

=1，得b²=1，于是c²=3，
所以橢圓C的方程為

x2

4

+y2=1，F1(-

3

，0)，F2(

3

，0)，…（4分）
（2）顯然直線DE斜率存在，設為k，方程為y-

1

4

=k(x-1)，設D（x₁′，y₁′），E（x₂′，y₂′），則
由

x2 4 +y2=1 y- 1 4 =k(x-1)

，消去y可得(1+4k2)x2+(2k-8k2)x+4k2-2k-

15

4

=0
∴

x1′+x2′

2

=

4k2-k

1+4k2

=1，∴k=-1
∴DE方程為y-1=-1（x-

1

4

），即4x+4y=5；…（9分）
（3）直線MN不與y軸垂直，設MN方程為my=x-1，代入橢圓C的方程得（m²+4）y²+2my-3=0，
設M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），則y₁+y₂=-

2m

m2+4

，y₁y₂=-

3

m2+4

，且△＞0成立．
又S_△OMN=

1

2

|y₁-y₂|=

1

2

×

4m2+12(m2+4)

m2+4

=

2 m2+3

m2+4

，
設t=

m2+3

≥

3

，則S_△OMN=

2

t+ 1 t

，
（t+

1

t

）′=1-t^-2＞0對t≥

3

恒成立，∴t=

3

時，t+

1

t

取得最小，S_△OMN最大，此時m=0，
∴MN方程為x=1；…（14分）

點評：本題考查橢圓的標準方程，考查直線與橢圓的位置關系，考查三角形面積的計算，正確運用韋達定理是關鍵．