Question

20．已知實數(shù)x滿足9^x-12•3^x+27≤0，函數(shù)$f（x）={log_2}\frac{x}{2}•{log_{\sqrt{2}}}\frac{{\sqrt{x}}}{2}$．
（1）求實數(shù)x的取值范圍；
（2）求函數(shù)f（x）的最大值和最小值，并求出此時x的值．

Answer 1

分析 （1）問題轉(zhuǎn)化為（3^x-3）（3^x-9）≤0，求出x的范圍即可；
（2）將f（x）的解析式配方，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)求出f（x）的最大值和最小值即可．

解答 解：（1）由9^x-12•3^x+27≤0，
得（3^x）²-12•3^x+27≤0，
即（3^x-3）（3^x-9）≤0，
∴3≤3^x≤9，1≤x≤2．
（2）因為$f（x）={log_2}\frac{x}{2}•{log_{\sqrt{2}}}\frac{{\sqrt{x}}}{2}=（{log_2}x-1）（{log_2}x-2）$
=${（{log_2}x）^2}-3{log_2}x+2={（{log_2}x-\frac{3}{2}）^2}-\frac{1}{4}$，
∵1≤x≤2，∴0≤log₂x≤1，
當log₂x=1，即x=2時，f（x）_min=0，
當log₂x=0，即x=1時，f（x）_max=2．

點評 本題考查了對數(shù)函數(shù)以及二次函數(shù)的性質(zhì)，考查函數(shù)的單調(diào)性問題，是一道中檔題．