Question

雙曲線C的中心在原點，右焦點為F(

2 3

3

， 0)，漸近線方程為y=±

3

x．
（Ⅰ）求雙曲線C的方程；
（Ⅱ）設(shè)直線l：y=kx+1與雙曲線C交于A、B兩點，問：當(dāng)k為何值時，以AB為直徑的圓過原點．

Answer 1

分析：（Ⅰ）設(shè)雙曲線的方程是

x2

a2

-

y2

b2

=1(a＞0，b＞0)，則c=

2 3

3

，

b

a

=

3

．由此能求出雙曲線的方程．
（Ⅱ）由

y=kx+1 3x2-y2=1

，得（3-k²）x²-2kx-2=0，由△＞0，且3-k²≠0，得-

6

＜k＜

6

，且 k≠±

3

．設(shè)A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），由以AB為直徑的圓過原點，知 x₁x₂+y₁y₂=0．由此能夠求出k=±1．

解答：解：（Ⅰ）設(shè)雙曲線的方程是

x2

a2

-

y2

b2

=1(a＞0，b＞0)，則c=

2 3

3

，

b

a

=

3

．
又∵c²=a²+b²，∴b²=1，a2=

1

3

．
所以雙曲線的方程是3x²-y²=1．
（Ⅱ）①由

y=kx+1 3x2-y2=1

得（3-k²）x²-2kx-2=0，
由△＞0，且3-k²≠0，得-

6

＜k＜

6

，且 k≠±

3

．
設(shè)A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），因為以AB為直徑的圓過原點，所以O(shè)A⊥OB，
所以 x₁x₂+y₁y₂=0．
又x1+x2=

-2k

k2-3

，x1x2=

2

k2-3

，
所以 y₁y₂=（kx₁+1）（kx₂+1）=k²x₁x₂+k（x₁+x₂）+1=1，
所以 

2

k2-3

+1=0，解得k=±1．

點評：本題主要考查直線與圓錐曲線的綜合應(yīng)用能力，具體涉及到軌跡方程的求法及直線與雙曲線的相關(guān)知識，解題時要認(rèn)真審題，注意雙曲線性質(zhì)的靈活運用，合理地進行等價轉(zhuǎn)化．