Question

11．已知等差數(shù)列{a_n}的公差d=$\int_{-\frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}}{cosxdx}$，a₄²-a₂²=56；等比數(shù)列{b_n}滿足：b₁=1，b₂b₄b₆=512，n∈N^*．
（1）求數(shù)列{a_n}和{b_n}的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè){a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，令c_n=$\left\{{\begin{array}{l}{\frac{2}{S_n}，n為奇數(shù)}\\{{b_n}，n為偶數(shù)}\end{array}}$，求c₁+c₂+c₃+…+c_2n．

Answer 1

分析 （1）通過定積分的計(jì)算可得$d=\int_{-\frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}}{cosxdx}=2$，通過$a_4^2-a_2^2=（{a_4}+{a_2}）（{a_4}-{a_2}）=2{a_3}•2d=56$可得a₃=7，進(jìn)而可得a₁=3，即得a_n=2n+1；設(shè)等比數(shù)列{b_n}的公比為q，通過等比中項(xiàng)的性質(zhì)及${b_2}{b_4}{b_6}=b_4^3=512$，可得b₄=8，進(jìn)而可得q=2，即得${b_n}={b_1}{q^{n-1}}={2^{n-1}}$；
（2）通過a₁=3、a_n=2n+1得${c_n}=\left\{{\begin{array}{l}{\frac{1}{n}-\frac{1}{n+2}，n為奇數(shù)}\\{{2^{n-1}}，n為偶數(shù)}\end{array}}\right.$，利用并項(xiàng)相加法計(jì)算即可．

解答 解：（1）公差$d=\int_{-\frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}}{cosxdx}=2$，
∵$a_4^2-a_2^2=（{a_4}+{a_2}）（{a_4}-{a_2}）=2{a_3}•2d=56$，
∴a₃=7，
∴a₁+2d=7，∴a₁=3，
∴a_n=3+2（n-1）=2n+1；
設(shè)等比數(shù)列{b_n}的公比為q，
∵${b_2}{b_4}{b_6}=b_4^3=512$，
∴b₄=8，即b₁q³=8，∴q=2，
即${b_n}={b_1}{q^{n-1}}={2^{n-1}}$；
（2）由a₁=3，a_n=2n+1得：S_n=n（n+2），
∴${c_n}=\left\{{\begin{array}{l}{\frac{2}{n（n+2）}，n為奇數(shù)}\\{{2^{n-1}}，n為偶數(shù)}\end{array}}\right.$，
即${c_n}=\left\{{\begin{array}{l}{\frac{1}{n}-\frac{1}{n+2}，n為奇數(shù)}\\{{2^{n-1}}，n為偶數(shù)}\end{array}}\right.$，
∴c₁+c₂+c₃+…c_2n=（c₁+c₃+…c_2n-1）+（c₂+c₄+…c_2n）
=$[（1-\frac{1}{3}）+（\frac{1}{3}-\frac{1}{5}）+…+（\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}）]+（2+{2^3}+…{2^{2n-1}}）$
=$1-\frac{1}{2n+1}+\frac{{2（1-{4^n}）}}{1-4}=\frac{2n}{2n+1}+\frac{2}{3}（{4^n}-1）$．

點(diǎn)評 本題考查求數(shù)列的通項(xiàng)及前n項(xiàng)和，涉及到定積分的計(jì)算等知識，考查分類討論的思想，利用并項(xiàng)相加法是解決本題的關(guān)鍵，注意解題方法的積累，屬于中檔題．