Question

17．（1）求與雙曲線$\frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{4}=1$共漸近線，且過點（3，4）的雙曲線的標準方程；
（2）過橢圓$M：\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$右焦點的直線$x+y-\sqrt{3}=0$交M于A，B兩點，O為坐標原點，P為AB的中點，且OP的斜率為$\frac{1}{2}$，求橢圓M的方程．

Answer 1

分析 （1）設(shè)與$\frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{4}=1$共漸近線的雙曲線的方程為$\frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{4}=λ$，將點（3，4）代入雙曲線中，求出λ=-3，
即可得到雙曲線的方程．
（2）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），P（x₀，y₀），將A，B坐標代入橢圓，利用平方差法，由直線AB的斜率為-1可得，求出OP的斜率為$\frac{y_0}{x_0}=\frac{1}{2}$，推出a²=2b²，通過$c=\sqrt{3}$，求解即可．

解答 解：（1）設(shè)與$\frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{4}=1$共漸近線的雙曲線的方程為$\frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{4}=λ$，
將點（3，4）代入雙曲線中，可得$\frac{9}{9}-\frac{16}{4}=λ$，即λ=-3，
代入$\frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{4}=λ$可得，雙曲線的方程為$\frac{y^2}{12}-\frac{x^2}{27}=1$．
（2）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），P（x₀，y₀），
將A，B坐標代入橢圓可得，$\left\{{\begin{array}{l}{\frac{x_1^2}{a^2}+\frac{y_1^2}{b^2}=1（1）}\\{\frac{x_2^2}{a^2}+\frac{y_2^2}{b^2}=1（2）}\end{array}}\right.$，
（1）-（2）可得，$\frac{{{y_2}-{y_1}}}{{{x_2}-{x_1}}}=-\frac{b^2}{a^2}•\frac{x_0}{y_0}$，
由直線AB的斜率為-1可得，$-\frac{b^2}{a^2}•\frac{x_0}{y_0}=-1$，而OP的斜率為$\frac{y_0}{x_0}=\frac{1}{2}$，
所以a²=2b²，
直線$x+y-\sqrt{3}=0$過橢圓的右焦點，可得$c=\sqrt{3}$，
由a²=b²+c²，得到a²=6，b²=3，
所以橢圓的標準方程為$\frac{x^2}{6}+\frac{y^2}{3}=1$．

點評 本題考查直線與雙曲線的位置關(guān)系，直線與橢圓的位置關(guān)系的應(yīng)用，雙曲線方程以及橢圓方程的求法，考查轉(zhuǎn)化思想以及計算能力．