已知
m
=（sinωx+cosωx，2sinωx），
n
=（cosωx-sinωx，
3
cosωx），（ω＞0），若f（x）=
m
•
n
且f(
π
3
-x)=f(x)，f（x）在（0，
π
3
）內(nèi)有最大值無(wú)最小值．
（1）求f（x）的最小正周期；
（2）在△ABC中，a、b、c分別是角A、B、C的對(duì)邊，f（A）=1，其面積S△ABC=
3
，求△ABC周長(zhǎng)的最小值．
分析：（1）化簡(jiǎn)f（x）=
m
•
n
 的解析式為2sin（2ωx+
π
6
），根據(jù) f(
π
3
-x)=f(x)，求出ω=1，可得周期T的值．
（2）根據(jù)f（A）=1，求得A=
π
3
，再由S△ABC=
1
2
bc•sinA=
3
，求得 bc 的值，再利用基本不等式求出△ABC周長(zhǎng)的最小值．
解答：解：（1）∵f（x）=
m
•
n
=（sinωx+cosωx）（cosωx-sinωx）+2sinωx•
3
cosωx=cos2ωx+
3
 sin2ωx=2sin（2ωx+
π
6
）．
∵f(
π
3
-x)=f(x)，∴2ω•
π
6
+
π
6
=2kπ+
π
2
，從而ω=6k+1，k∈z．
又
π
3
-
π
6
≤
π
2ω
，∴ω≤3，因此 k=0，ω=1，∴T=
2π
ω
=π．
（2）∵f（A）=1，∴2sin（2A+
π
6
）=1，∴A=
π
3
，S△ABC=
1
2
bc•sinA=
3
，∴bc=4，
∴△ABC周長(zhǎng)為 b+c+a=b+c+
b2+c2 -2bc•cosA
≥2
bc
+
2bc -2bc•cosA
=6，當(dāng)且僅當(dāng)b=c時(shí)等號(hào)成立．
故△ABC周長(zhǎng)的最小值為6．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查兩個(gè)向量的數(shù)量積的運(yùn)算，正弦定理和基本不等式的應(yīng)用，三角函數(shù)的周期性以及求法，屬于中檔題．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知
m
=（sinωx+cosωx，
3
cosωx），
n
=（cosωx-sinωx，2sibωx），且ω＞0，設(shè)f（x）=
m
•
n
，f（x）的圖象相鄰兩對(duì)稱軸之間的距離等于
π
2
．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的解析式；
（Ⅱ）在△ABC中，a、b、c分別為角A、B、C的對(duì)邊，b+c=4，f（A）=1，求△ABC面積的最大值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知向量
a
=(sin(x-
π
4
)，-1)，
b
=(
2
，2)且f(x)=
a
•
b
+2
（1）求f（x）的表達(dá)式．
（2）用“五點(diǎn)作圖法”畫(huà)出函數(shù)f（x）在一個(gè)周期上的圖象．
（3）寫出f（x）在[-π，π]上的單調(diào)遞減區(qū)間．
（4）設(shè)關(guān)于x的方程f（x）=m在x∈[-π，π]上的根為x1，x2且m∈(1，
2
)，求x1+x2的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知向量
a
=(sin(ωx+?)，2)，
b
=(1，cos(ωx+?))，(ω＞0，0＜?＜
π
2
)．函數(shù)f(x)=(
a
+
b
)•(
a
-
b
)的圖象的相鄰兩對(duì)稱軸之間的距離為2，且過(guò)點(diǎn)M(1，
7
2
)．
（1）求f（x）的表達(dá)式；
（2）求f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2009）的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

（2013•黃埔區(qū)一模）已知函數(shù)y=sin(ωx+
π
3
)(ω＞0)的最小正周期為π，若將該函數(shù)的圖象向左平移m（m＞0）個(gè)單位后，所得圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則m的最小值為
π
3
π
3
．

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