已知
m
=(sinωx+cosωx,
3
cosωx),
n
=(cosωx-sinωx,2sibωx),且ω>0,設(shè)f(x)=
m
n
,f(x)的圖象相鄰兩對稱軸之間的距離等于
π
2

(Ⅰ)求函數(shù)f(x)的解析式;
(Ⅱ)在△ABC中,a、b、c分別為角A、B、C的對邊,b+c=4,f(A)=1,求△ABC面積的最大值.
分析:(Ⅰ)利用向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算和條件列出解析式,根據(jù)倍角公式和兩角和的正弦公式進(jìn)行化簡,由兩個相鄰的對稱軸之間的距離是周期的一半,求出ω的值;
(Ⅱ)根據(jù)f(A)=1和A的范圍,求出A的值,代入三角形面積公式S△ABC=
1
2
bcsinA,根據(jù)b+c=4和基本不等式求出面積的最大值,注意等號成立的條件是否取到.
解答:解:(Ⅰ)f(x)=cos2ωx-sin2ωx+2
3
sinωxcosωx
=cos2ωx+
3
sin2ωx
=2sin(2ωx+
π
6
)(4分)
∵f(x)的圖象相鄰兩對稱軸之間的距離等于
π
2
,
π
=
π
2
,解得ω=1,∴f(x)=2sin(2x+
π
6
).(6分)
(Ⅱ)∵f(A)=1,∴sin(2A+
π
6
)=
1
2
,
∵0<A<π,∴
π
6
<2A+
π
6
13π
6
,∴2A+
π
6
=
6
,解得A=
π
3
.(8分)
∵b+c=4,∴S△ABC=
1
2
bcsinA=
3
4
bc≤
3
4
(
b+c
2
)
2
=
3
(10分)
當(dāng)且僅當(dāng)b=c=2等號成立,故S△ABC面積最大值為
3
.(12分)
點(diǎn)評:本題的考點(diǎn)是三角函數(shù)解析式的求法以及基本不等式的應(yīng)用,應(yīng)先對解析式化簡再把條件代入,利用知識點(diǎn)有倍角公式和兩角和的正弦公式,正弦函數(shù)的性質(zhì),以及利用基本不等式求最值問題,注意等號成立的條件.
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知向量
a
=(sin(x-
π
4
),-1),
b
=(
2
,2)
f(x)=
a
b
+2

(1)求f(x)的表達(dá)式.
(2)用“五點(diǎn)作圖法”畫出函數(shù)f(x)在一個周期上的圖象.
(3)寫出f(x)在[-π,π]上的單調(diào)遞減區(qū)間.
(4)設(shè)關(guān)于x的方程f(x)=m在x∈[-π,π]上的根為x1,x2m∈(1,
2
)
,求x1+x2的值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知
m
=(sinωx+cosωx,2sinωx),
n
=(cosωx-sinωx,
3
cosωx),(ω>0),若f(x)=
m
n
f(
π
3
-x)=f(x)
,f(x)在(0,
π
3
)內(nèi)有最大值無最小值.
(1)求f(x)的最小正周期;
(2)在△ABC中,a、b、c分別是角A、B、C的對邊,f(A)=1,其面積S△ABC=
3
,求△ABC周長的最小值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知向量
a
=(sin(ωx+?),2)
,
b
=(1,cos(ωx+?))
,(ω>0,0<?<
π
2
)
.函數(shù)f(x)=(
a
+
b
)•(
a
-
b
)
的圖象的相鄰兩對稱軸之間的距離為2,且過點(diǎn)M(1,
7
2
)

(1)求f(x)的表達(dá)式;
(2)求f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2009)的值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2013•黃埔區(qū)一模)已知函數(shù)y=sin(ωx+
π
3
)(ω>0)
的最小正周期為π,若將該函數(shù)的圖象向左平移m(m>0)個單位后,所得圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱,則m的最小值為
π
3
π
3

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