Question

已知數(shù)列{a_n}中，a₁=

2

3

，且a_n+1=（1+

1

2n

）a_n+

1

n2

（n≥2，n∈N⁺），b_n=（1+n） 

1

n

（1）當(dāng)n≥2時(shí)，求證a_n≥2
（2）求證：當(dāng)x＞0時(shí)，ln（1+x）＜x，且b_n＜e．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列與函數(shù)的綜合,數(shù)列遞推式

專題：綜合題,點(diǎn)列、遞歸數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法

分析：（1）用數(shù)學(xué)歸納法證明即可；
（2）利用分析法進(jìn)行證明即可．

解答： 證明：（1）用數(shù)學(xué)歸納法證明：①當(dāng)n=2時(shí)，有a₂=（1+

1

2

）a₁+1=2，a_n≥2成立；
②假設(shè)n=k時(shí)，有a_k≥2，則當(dāng)n=k+1時(shí)，有a_k+1=（1+

1

2k

）a_k+

1

k2

，
由a_k≥2，得a_k+1=（1+

1

2k

）a_k+

1

k2

≥2+

2

2k-1

+

1

k2

＞2，
所以a_k+1≥2．
由①②可知：當(dāng)n≥2時(shí)，有a_n≥2成立．
（2）要證明b_n＜e成立，只需證(1+n)

1

n

＜e，即ln（1+n）＜n，
當(dāng)x＞0時(shí)，考查函數(shù)f（x）=ln（x+1）-x，有f′（x）=

1

1+x

，易知f′（x）＜0，
∴f（x）=ln（x+1）-x在（0，+∞）上是單調(diào)遞減函數(shù)．
∴f（x）＜f（0）=0．則有l(wèi)n（x+1）-x＜0，∴l(xiāng)n（x+1）＜x成立，
此時(shí)有l(wèi)n（n+1）＜n，則有(1+n)

1

n

＜e得證，∴b_n＜e．

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)學(xué)歸納法、分析法，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，屬于中檔題．