Question

函數(shù)f（x）=

loga(-x2-x)

（0＜a＜1）
（1）求f（x）的定義域
（2）求f（x）的值域
（3）判斷f（x）的單調性．

Answer 1

考點：復合函數(shù)的單調性

專題：函數(shù)的性質及應用

分析：（1）根據(jù)函數(shù)成立的條件即可求f（x）的定義域
（2）利用換元法，結合對數(shù)函數(shù)，二次函數(shù)的單調性即可求f（x）的值域
（3）利用復合函數(shù)單調性之間的關系即可判斷f（x）的單調性．

解答： 解：（1）要使函數(shù)有意義，則loga(-x2-x)≥0，
∵0＜a＜1，∴0＜-x²-x≤1，
即

-x2-x≤1 -x2-x＞0

，則

x2+x+1≥0 x2+x＜0

，

x∈R -1＜x＜0

，即-1＜x＜0，
即f（x）的定義域為（-1，0）．
（2）設t=-x²-x=-（x+

1

2

）²+

1

4

∈(0，

1

4

]，
∵0＜a＜1，∴logat≥loga

1

4

，
則f（x）=

loga(-x2-x)

≥

loga 1 4

，
即f（x）的值域[

loga 1 4

，+∞）．
（3）設t=-x²-x=-（x+

1

2

）²+

1

4

，
則函數(shù)t=-x²-x在（-1，-

1

2

]上單調遞增，u=log_at單調遞減，y=

u

單調遞增，
則根據(jù)復合函數(shù)單調性之間的性質可知，此時函數(shù)f（x）=

loga(-x2-x)

單調遞減，
則函數(shù)t=-x²-x在（-

1

2

，0）上單調遞減，u=log_at單調遞減，y=

u

單調遞增，
則根據(jù)復合函數(shù)單調性之間的性質可知，此時函數(shù)f（x）=

loga(-x2-x)

單調遞增，
即函數(shù)的單調遞增區(qū)間為（-

1

2

，0），單調遞減區(qū)間為（-1，-

1

2

]．

點評：本題主要考查函數(shù)定義域，值域以及單調區(qū)間的求解，根據(jù)復合函數(shù)單調性之間的關系，結合同增異減的性質是解決本題的關鍵．