Question

14．已知函數(shù)f（x）=e^x，g（x）=lnx，
（1）求證：f（x）≥x+1；
（2）求h（x）=$\frac{g（x）+1}{f（x）}$的單調(diào)區(qū)間．

Answer 1

分析 （1）作差f（x）-x-1=e^x-x-1，可令u（x）=e^x-x-1，然后求導(dǎo)數(shù)u′（x），根據(jù)導(dǎo)數(shù)符號(hào)便可得出f（x）在x=0時(shí)取到最小值0，從而u（x）≥0，這樣便證出了f（x）≥x+1；
（2）先求出h（x）=$\frac{lnx+1}{{e}^{x}}$，求導(dǎo)數(shù)，$h′（x）=\frac{\frac{1}{x}-lnx-1}{{e}^{x}}$，可令$v（x）=\frac{1}{x}-lnx-1$，再通過求導(dǎo)數(shù)，便可得出v（x）為減函數(shù)，并且可求出v（1）=0，這樣即可得到0＜x＜1時(shí)，h′（x）＜0，而x＞1時(shí)，h′（x）＞0，這樣便可得出h（x）的單調(diào)區(qū)間．

解答 解：（1）證明：f（x）-x-1=e^x-x-1，令u（x）=e^x-x-1，u′（x）=e^x-1；
∴x＜0時(shí)，u′（x）＜0，x＞0時(shí)，u′（x）＞0；
∴x=0時(shí)，u（x）取最小值0；
∴u（x）≥0；
∴f（x）≥x+1；
（2）$h（x）=\frac{lnx+1}{{e}^{x}}$，$h′（x）=\frac{\frac{1}{x}-lnx-1}{{e}^{x}}$；
設(shè)v（x）=$\frac{1}{x}-lnx-1$，$v′（x）=-\frac{1}{{x}^{2}}-\frac{1}{x}＜0$；
∴v（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞減，v（1）=0；
∴x∈（0，1）時(shí)，v（x）＜0，h′（x）＜0，x∈（1，+∞）時(shí)，v（x）＞0，h′（x）＞0；
∴h（x）在（0，1）上單調(diào)遞減，在[1，+∞）上單調(diào)遞增；
即h（x）的單調(diào)減區(qū)間為（0，1），增區(qū)間為[1，+∞）．

點(diǎn)評(píng) 考查構(gòu)造函數(shù)解決問題的方法，根據(jù)導(dǎo)數(shù)求函數(shù)最值的方法，根據(jù)導(dǎo)數(shù)符號(hào)求函數(shù)單調(diào)區(qū)間的方法，函數(shù)單調(diào)性定義的運(yùn)用．