Question

如圖，設(shè)平面α∩β=EF，AB⊥α，CD⊥α，垂足．分別為B，D，若增加一個(gè)條件，就能推出BD⊥EF．現(xiàn)有①AC⊥β；②AC與α，β所成的角相等；③AC與CD在β內(nèi)的射影在同一條直線上；④AC∥EF．那么上述幾個(gè)條件中能成為增加條件的個(gè)數(shù)是（ ）

A．1個(gè)
B．2個(gè)
C．3個(gè)
D．4個(gè)

Answer 1

【答案】分析：①因?yàn)锳C⊥β，且EF?β所以AC⊥EF．又AB⊥α且EF?α所以EF⊥AB．因?yàn)锳C∩AB=A，所以EF⊥平面ACBD，因?yàn)锽D?平面ACBD所以BD⊥EF．
②此時(shí)AC與EF 不一定，可以是相交、可以是平行、也可能垂直，所以EF與平面ACDB不垂直，所以就推不出EF與BD垂直．
③因?yàn)镃D⊥α且EF?α所以EF⊥CD．所以EF與CD在β內(nèi)的射影垂直，AC與CD在β內(nèi)的射影在同一條直線上，所以EF⊥AC．因?yàn)锳C∩CD=C，所以EF⊥平面ACBD，因?yàn)锽D?平面ACBD所以BD⊥EF．
④若AC∥EF，則AC∥平面α，所以BD∥AC，所以BD∥EF．
解答：解：①因?yàn)锳C⊥β，且EF?β所以AC⊥EF．
又AB⊥α且EF?α所以EF⊥AB．
因?yàn)锳C∩AB=A，AC?平面ACBD，AB?平面ACBD，所以EF⊥平面ACBD，
因?yàn)锽D?平面ACBD所以BD⊥EF．
所以①可以成為增加的條件．
②AC與α，β所成的角相等，AC與EF 不一定，可以是相交、可以是平行、也可能垂直，所以EF與平面ACDB不垂直，所以就推不出EF與BD垂直．所以②不可以成為增加的條件．
③AC與CD在β內(nèi)的射影在同一條直線上
因?yàn)镃D⊥α且EF?α所以EF⊥CD．
所以EF與CD在β內(nèi)的射影垂直，
AC與CD在β內(nèi)的射影在同一條直線上
所以EF⊥AC
因?yàn)锳C∩CD=C，AC?平面ACBD，CD?平面ACBD，所以EF⊥平面ACBD，
因?yàn)锽D?平面ACBD所以BD⊥EF．
所以③可以成為增加的條件．
④若AC∥EF則AC∥平面α所以BD∥AC所以BD∥EF．
所以④不可以成為增加的條件．
答案為：①③．
故選B．
點(diǎn)評(píng)：本題是個(gè)開放性的命題，解決此類問題關(guān)鍵是熟記相關(guān)的平行與垂直的定理，準(zhǔn)確把握定理中的條件，這種題型比較注重基礎(chǔ)知識(shí)的靈活變形，是個(gè)易錯(cuò)題．