Question

已知數(shù)列{a_n}是公差不為0的等差數(shù)列，且a₁，a₄，a₁₃成等比數(shù)列，S₃=15．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）數(shù)列{b_n}滿足對于任意n∈N⁺都有S_n=2ⁿ-1，求數(shù)列{a_n•b_n}的前n項和T_n．

Answer 1

考點：數(shù)列的求和,等差數(shù)列的性質

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）由已知條件利用等差數(shù)列的通項公式和前n項和公式及等比數(shù)列性質，求出首項與公差，由此能求出a_n=2n+1．
（2）由已知條件推導出bn=2n-1．從而得到anbn=(2n+1)•2n-1，由此利用錯位相減法能求出數(shù)列{a_n•b_n}的前n項和T_n．

解答： 解：（1）∵數(shù)列{a_n}是公差不為0的等差數(shù)列，S₃=15．
∴S3=

3(a1+a3)

2

=3a2=15，解得a₂=5．…．（2分）．
又a₁，a₄，a₁₃成等比數(shù)列，
∴（5+2d）²=（5-d）（5+11d），
∵d≠0，解得d=2，
∴a_n=2n+1．…．（5分）．
（2）∵數(shù)列{b_n}滿足對于任意n∈N⁺都有S_n=2ⁿ-1，
∴n=1時，b₁=S₁=2-1=1，
n≥2時，bn=2n-1-2n-1+1=2n-1，
n=1時，成立，∴bn=2n-1．…．（7分）．
anbn=(2n+1)•2n-1，
∴Tn=3•20+5•2+7•22+…+(2n+1)•2n-1，①
2Tn=3•2+5•22+7•23+…+(2n+1)•2n，②
①-②，得-Tn=3+2(2+22+…+2n-1)-(2n+1)•2n
=3+2•2ⁿ-4-（2n+1）•2ⁿ
=-（2n-1）•2ⁿ-1．
∴Tn=(2n-1)•2n+1…．（12分）．

點評：本題考查數(shù)列的通項公式的求法，考查數(shù)列的前n項和的求法，解題時要認真審題，注意錯位相減法的合理運用．