Question

設(shè)數(shù)列{a_n}滿足a₁=2，a₂=6，且對一切n∈N^*，有a_n+2=2a_n+1-a_n+2
（1）證明：數(shù)列{a_n+1-a_n}是等差數(shù)列；
（2）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（3）設(shè)Tn=

1

3a1

+

1

4a2

+

1

5a3

+…+

1

(n+2)an

，求T_n的取值范圍．

Answer 1

考點：數(shù)列的求和,等差關(guān)系的確定

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）由已知條件推導(dǎo)出a₂-a₁=6-2=4，（a_n+2-a_n+1）-（a_n+1-a_n）=2，由此能證明數(shù)列{a_n+1-a_n}是首項為4，公差為2的等差數(shù)列．
（2）由（1）知a_n+1-a_n=4+2（n-1）=2n+2，由此利用累加法能求出a_n=n（n+1）．
（3）由

1

(n+2)an

=

1

n(n+1)(n+2)

=

1

2

[

1

n(n+1)

-

1

(n+1)(n+2)

]，利用裂項求和法求出Tn=

1

4

-

1

2(n+1)(n+2)

＜

1

4

，由題意知T_n在n∈N^*時單調(diào)遞增，Tn≥T1=

1

6

，由此能求出T_n的取值范圍．

解答： （1）證明：∵數(shù)列{a_n}滿足a₁=2，a₂=6，且對一切n∈N^*，有a_n+2=2a_n+1-a_n+2，
∴a₂-a₁=6-2=4，
（a_n+2-a_n+1）-（a_n+1-a_n）=2，
∴數(shù)列{a_n+1-a_n}是首項為4，公差為2的等差數(shù)列．
（2）解：由（1）知a_n+1-a_n=4+2（n-1）=2n+2，
∴a₂-a₁=4，a₃-a₂=6，a₄-a₃=8，…，a_n-a_n-1=2n，
累加，得：a_n=2+4+6+8+…+2n=

n(2+2n)

2

=n（n+1）．
（3）解：∵

1

(n+2)an

=

1

n(n+1)(n+2)

=

1

2

[

1

n(n+1)

-

1

(n+1)(n+2)

]，
∴Tn=

1

3a1

+

1

4a2

+

1

5a3

+…+

1

(n+2)an

=

1

2

[

1

1×2

-

1

2×3

+

1

2×3

-

1

3×4

+…+

1

n(n+1)

-

1

(n+1)(n+2)

]
=

1

2

[

1

2

-

1

(n+1)(n+2)

]
=

1

4

-

1

2(n+1)(n+2)

＜

1

4

，
由題意知T_n在n∈N^*時單調(diào)遞增，∴Tn≥T1=

1

6

，
綜上：

1

6

≤Tn＜

1

4

．

點評：本題考查等差數(shù)列的證明，考查數(shù)列的通項公式的求法，考查數(shù)列的前n項和的取值范圍的確定，解題時要認真審題，注意裂項求和法的合理運用．