Question

(本題滿分12分) 如圖，平面⊥平面，其中為矩形，為梯形，∥，⊥，＝＝2＝2，為中點(diǎn)．
(Ⅰ) 證明；
(Ⅱ) 若二面角的平面角的余弦值為，求的長(zhǎng)．

Answer 1

(Ⅰ) 證明見(jiàn)解析(Ⅱ)

解析試題分析：(Ⅰ)由已知為正三角形，為中點(diǎn)，所以 ，
因?yàn)槠矫?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/fd/3/1lauj4.png" style="vertical-align:middle;" />⊥平面，平面⊥平面,
所以平面，所以.                                            ……4分
(Ⅱ) 方法一：設(shè)．取的中點(diǎn)，由題意得．
因?yàn)槠矫?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/fd/3/1lauj4.png" style="vertical-align:middle;" />⊥平面，，所以⊥平面，
所以,所以⊥平面．
過(guò)作，垂足為，
連結(jié)，則，
所以為二面角的平面角．                                         ……8分
在直角△中，，得．
在直角△中，由＝sin∠AFB＝，得＝，所以＝．
在直角△中，，＝，得＝．
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/26/9/1okgh3.png" style="vertical-align:middle;" />＝＝，得x＝，所以＝．                      ……12分
方法二：設(shè)．以為原點(diǎn)，所在的直線分別為軸，軸建立空間直角坐標(biāo)系．
則 (0，0，0)，(－2，0，0)，(，0，0)，(－1，