Question

已知在數(shù)列{a_n}中，a₁=-1，a₂=2，a_n+1+a_n-1=2（a_n+1）（n≥2，n∈N₊）．
（1）求證：數(shù)列{a_n-a_n-1}是等差數(shù)列；
（2）若a_n≥100，求正整數(shù)n的最小值．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列遞推式,數(shù)列的函數(shù)特性,等差關(guān)系的確定

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）轉(zhuǎn)化已知條件為：（a_n+1-a_n）-（a_n-a_n-1）=2，即可判斷數(shù)列{a_n-a_n-1}是等差數(shù)列．
（2）利用累加法求出數(shù)列的通項(xiàng)公式，結(jié)合不等式即可求出正整數(shù)n的最小值．

解答： 解：（1）因?yàn)閍_n+1+a_n-1=2（a_n+1）可化為（a_n+1-a_n）-（a_n-a_n-1）=2，
所以數(shù)列{a_n-a_n-1}是一個(gè)首項(xiàng)為a₂-a₁=3，公差為2的等差數(shù)列.4分
（2）由（1）知a_n-a_n-1=3+2（n-2）=2n-1，
所以（a_n-a_n-1）+（a_n-1-a_n-2）+…+（a₂-a₁）=a_n-a₁=（2n-1）+（2n-3）+…+3，
所以a_n=-1+3+…+（2n-1）=-2+[1+3+…+（2n-1）]
=-2+

n[1+(2n-1)]

2

=n²-2（n≥2，n∈N₊）．
因?yàn)?²-2=-1=a₁，所以a₁也適合a_n=n²-2，所以數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式為a_n=n²-2．
令n²-2≥100，解得n≥11，故n的最小值是11.12分．

點(diǎn)評：本題考查遞推關(guān)系式的應(yīng)用，等差數(shù)列的判斷，數(shù)列與不等式相結(jié)合，考查分析問題解決問題的能力．