（1）證明函數(shù) f（x）=x+
1x
在x∈[1，+∞）上是增函數(shù)；
（2）求f（x）在[2，4]上的值域．
分析：（1）利用增函數(shù)的定義即可證明：設(shè)1≤x1＜x2，只需利用作差證明f（x1）＜f（x2）；
（2）由（1）知f（x）在[2，4]上的單調(diào)性，根據(jù)單調(diào)性可求得f（x）的最大值、最小值，從而可得函數(shù)的值域；
解答：（1）證明：設(shè)1≤x1＜x2，則
f（x1）-f（x2）=x1+
1
x1
-x2-
1
x2

=x1-x2+
x2-x1
x1x2

=（x1-x2）（1-
1
x1x2
），
∵1≤x1＜x2，
∴x1-x2＜0，x1x2＞1，則0＜
1
x1x2
＜1，
∴1-
1
x1x2
＞0，
∴f（x1）-f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2），
∴f（x）在x∈[1，+∞）上是增函數(shù)；
（2）解：由（1）知f（x）在[2，4]上是增函數(shù)，
∴f（x）max=f（4）=
17
4
，f（x）min=f（2）=
5
2
，
∴f(x)的值域?yàn)閇
5
2
，
17
4
]．
點(diǎn)評：本題考查函數(shù)單調(diào)性的證明及其應(yīng)用，屬基礎(chǔ)題，定義是證明函數(shù)單調(diào)性的基本方法，要熟練掌握．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=1-
22x+1
，
（1）證明函數(shù)f（x）的奇偶性；
（2）利用函數(shù)單調(diào)性的定義證明：f（x）是其定義域上的增函數(shù)．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知f（x）是定義在區(qū)間[-1，1]上的奇函數(shù)，且f（1）=1，若m、n∈[-1，1]，m+n≠0時，有
f(m)+f(n)
m+n
＞0．
（1）證明函數(shù)f（x）在其定義域上是增函數(shù)；
（2）解不等式f(x+
1
2
)＜f(1-x)．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=x2-2|x|-1．
（1）證明函數(shù)f（x）是偶函數(shù)；
（2）在如圖所示的平面直角坐標(biāo)系中作出函數(shù)f（x）的圖象．
（3）根據(jù)圖象求該函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2012•廣州二模）已知函數(shù)f（x）的定義域?yàn)椋?1，1），且f(
1
2
)=1，對任意x，y∈（-1，1），都有f(x)-f(y)=f(
x-y
1-xy
)，數(shù)列{an}滿足a1=
1
2
，an+1=
2an
1+
a
2
n
(n∈N*)．
（1）證明函數(shù)f（x）是奇函數(shù)；
（2）求數(shù)列{f（an）}的通項(xiàng)公式；
（3）令An=
a1+a2+…+an
n
(n∈N*)，證明：當(dāng)n≥2時，|
n
i=1
ai-
n
i=1
A1|＜
n-1
2
．

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