已知橢圓的離心率為,過
的左焦點(diǎn)
的直線
被圓
截得的弦長為
.
(1)求橢圓的方程;
(2)設(shè)的右焦點(diǎn)為
,在圓
上是否存在點(diǎn)
,滿足
,若存在,指出有幾個這樣的點(diǎn)(不必求出點(diǎn)的坐標(biāo));若不存在,說明理由.
(1);(2)圓
上存在兩個不同點(diǎn)
,滿足
..
解析試題分析:本題主要考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程、點(diǎn)到直線的距離公式、垂徑定理、圓的標(biāo)準(zhǔn)方程、兩個圓的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識,考查學(xué)生的分析問題解決問題的能力、計算能力,考查學(xué)生的數(shù)形結(jié)合思想.第一問,利用直線方程得到橢圓的左焦點(diǎn)坐標(biāo),再結(jié)合離心率,得到橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;第二問,利用點(diǎn)到直線的距離求出圓心到直線的距離,由已知弦長為
,則由垂徑定理得到圓的半徑,從而得到圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,利用兩點(diǎn)間的距離公式得到
和
,代入已知中,得到P點(diǎn)的軌跡方程為圓,利用兩個圓的位置關(guān)系判斷兩個圓相交,所以存在點(diǎn)P.
因?yàn)橹本的方程為
,
令,得
,即
1分
∴ ,又∵
,
∴ ,
∴橢圓的方程為
. 4分
(2)∵圓心到直線
的距離為
,
又直線被圓
截得的弦長為
,
∴由垂徑定理得,
故圓的方程為
. 8分
設(shè)圓上存在點(diǎn)
,滿足
即
,
且的坐標(biāo)為
,
則,整理得
,它表示圓心在
,半徑是
的圓。
∴ 12分
故有,即圓
與圓
相交,有兩個公共點(diǎn)。
∴圓上存在兩個不同點(diǎn)
,滿足
. 14分
考點(diǎn):橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程、點(diǎn)到直線的距離公式、垂徑定理、圓的標(biāo)準(zhǔn)方程、兩個圓的位置關(guān)系.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
如圖,曲線由上半橢圓
和部分拋物線
連接而成,
的公共點(diǎn)為
,其中
的離心率為
.
(1)求的值;
(2)過點(diǎn)的直線
與
分別交于
(均異于點(diǎn)
),若
,求直線
的方程.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
已知點(diǎn)是橢圓
上任一點(diǎn),點(diǎn)
到直線
的距離為
,到點(diǎn)
的距離為
,且
.直線
與橢圓
交于不同兩點(diǎn)
、
(
,
都在
軸上方) ,且
.
(1)求橢圓的方程;
(2)當(dāng)為橢圓與
軸正半軸的交點(diǎn)時,求直線
方程;
(3)對于動直線,是否存在一個定點(diǎn),無論
如何變化,直線
總經(jīng)過此定點(diǎn)?若存在,求出該定點(diǎn)的坐標(biāo);若不存在,請說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
橢圓:
的左頂點(diǎn)為
,直線
交橢圓
于
兩點(diǎn)(
上
下),動點(diǎn)
和定點(diǎn)
都在橢圓
上.
(1)求橢圓方程及四邊形的面積.
(2)若四邊形為梯形,求點(diǎn)
的坐標(biāo).
(3)若為實(shí)數(shù),
,求
的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
如圖,是拋物線為
上的一點(diǎn),以S為圓心,r為半徑(
)做圓,分別交x軸于A,B兩點(diǎn),連結(jié)并延長SA、SB,分別交拋物線于C、D兩點(diǎn)。
(1)求證:直線CD的斜率為定值;
(2)延長DC交x軸負(fù)半軸于點(diǎn)E,若EC : ED =" 1" : 3,求的值。
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
如圖,橢圓的長軸長為
,點(diǎn)
、
、
為橢圓上的三個點(diǎn),
為橢圓的右端點(diǎn),
過中心
,且
,
.
(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)設(shè)、
是橢圓上位于直線
同側(cè)的兩個動點(diǎn)(異于
、
),且滿足
,試討論直線
與直線
斜率之間的關(guān)系,并求證直線
的斜率為定值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
已知雙曲線C:離心率是
,過點(diǎn)
,且右支上的弦
過右焦點(diǎn)
.
(1)求雙曲線C的方程;
(2)求弦的中點(diǎn)
的軌跡E的方程;
(3)是否存在以為直徑的圓過原點(diǎn)O?,若存在,求出直線
的斜率k 的值.若不存在,則說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
(2013·上海高考)如圖,已知雙曲線C1:-y2=1,曲線C2:|y|=|x|+1.P是平面內(nèi)一點(diǎn).若存在過點(diǎn)P的直線與C1,C2都有共同點(diǎn),則稱P為“C1-C2型點(diǎn)”.
(1)在正確證明C1的左焦點(diǎn)是“C1-C2型點(diǎn)”時,要使用一條過該焦點(diǎn)的直線,試寫出一條這樣的直線的方程(不要求驗(yàn)證).
(2)設(shè)直線y=kx與C2有公共點(diǎn),求證|k|>1,進(jìn)而證明原點(diǎn)不是“C1-C2型點(diǎn)”.
(3)求證:圓x2+y2=內(nèi)的點(diǎn)都不是“C1-C2型點(diǎn)”.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
在平面直角坐標(biāo)系中,已知動點(diǎn)
到點(diǎn)
的距離為
,到
軸的距離為
,且
.
(1)求點(diǎn)的軌跡
的方程;
(2) 若直線斜率為1且過點(diǎn)
,其與軌跡
交于點(diǎn)
,求
的值.
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