Question

附加題：
設A、B是拋物線C：y²=2px（P＞0）上異于原點O的兩個不同點，直線OA和OB的傾斜角分別為α和β，當α，β變化且α+β為定值θ（0＜θ＜π）時，證明直線AB恒過定點，并求出該定點的坐標．
（注：實驗班必做，普通班選做）

Answer 1

分析：把OA的方程y=tanα•x，代入拋物線C：y²=2px，求得A的坐標，同理求得B的坐標，用兩點式求得AB的方程，利用
α+β為定值θ 化簡為 y=

1

tanα+tanβ

（x+2p）-

1

tanθ

 x，可得過定點（-2p，

2p

tanθ

 ）．

解答：解：OA的方程為 y=tanα•x，代入拋物線C：y²=2px，解得A（

2p

tan2α

，

2p

tanα

 ），同理求得B（

2p

tan2β

，

2p

tanβ

），
用兩點式求得AB的方程為

y- 2p tanα

2p tanβ - 2p tanα

=

x- 2p tan2α

2p tan2β - 2p tan2α

，化簡可得 y=

tanα•tanβ

tanα + tanβ

x+

2p

tanα + tanβ

，
∵α+β為定值θ，∴tanθ=

tanα+tanβ

1-tanα•tanβ

，∴tanα•tanβ=

tanθ- (tanα+tanβ)

tanθ

，
故直線AB的方程為  y=

1

tanα+tanβ

x+

2p

tanaα+ tnβ

-

1

tanθ

 x=

1

tanα+tanβ

（x+2p）-

1

tanθ

 x．
故x=-2p 時，y=

2p

tanθ

，故 直線AB過定點（-2p，

2p

tanθ

 ）．

點評：本題考查直線和圓的位置關系，直線過定點問題，化簡直線AB的方程為 y=

1

tanα+tanβ

（x+2p）-

1

tanθ

 x，
是解題的關鍵和難點．