Question

已知函數(shù)f（x）=

1

x

-alnx．（a∈R）
（1）當(dāng)a=-1時(shí)，試確定函數(shù)f（x）在其定義域內(nèi)的單調(diào)性；
（2）求函數(shù)f（x）在（0，e）上的最小值．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）利用導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系即可得出；
（2）利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性，對(duì)分類討論即可得出．

解答： 解：（1）當(dāng)a=-1時(shí)，f（x）=

1

x

+lnx，x∈（0，+∞），
則f′（x）=

x-1

x2

，
∵當(dāng)0＜x＜1時(shí)，f'（x）＜0，當(dāng)x＞1時(shí)，f'（x）＞0．
∴函數(shù)f（x）在（0，1）上單調(diào)遞減，在（1，+∞）上單調(diào)遞增．
（2）∵f′（x）=-

ax+1

x2

，
①當(dāng)a≥0時(shí)，∵x∈（0，e]，∴ax+1＞0⇒f'（x）＜0，
函數(shù)f（x）在（0，e]上單調(diào)遞減，
∴f（x）min=f（e）=

1

e

-a．
②當(dāng)a＜0時(shí)，令f'（x）=0得x=-

1

a

，
當(dāng)-

1

a

＜e，即a＜-

1

e

時(shí)，對(duì)x∈（0，-

1

a

），有f'（x）＜0；即函數(shù)f（x）在（0，-

1

a

）上單調(diào)遞減；
對(duì)x∈（-

1

a

，e），有f'（x）＞0，即函數(shù)f（x）在（-

1

a

，e）上單調(diào)遞增；
∴f（x）_min=f（-

1

a

）=-a-aln（-

1

a

）；
當(dāng)-

1

a

≥e，即a≥-

1

e

時(shí)，對(duì)x∈（0，e]有f'（x）＜0，即函數(shù)f（x）在（0，e]上單調(diào)遞減；
∴f（x）min=f（e）=

1

e

-a．
綜上得f（x）min=

1 e -a    ，          (a≥- 1 e ) -a-aln(-a)，  (a＜- 1 e )

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了利用導(dǎo)研究函數(shù)的單調(diào)性、分類討論思想，是一道綜合題．