Question

【題目】已知橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)為，上頂點(diǎn)為，原點(diǎn)O到直線的距離為.

(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)若點(diǎn)T在圓上，點(diǎn)A為橢圓的右頂點(diǎn)，是否存在過點(diǎn)A的直線l交橢圓C于點(diǎn)B（異于點(diǎn)A），使得成立？若存在，求出直線l的方程；若不存在，請(qǐng)說明理由.

Answer 1

【答案】(1) (2) 存在滿足條件的直線，其方程為.

【解析】

（1）根據(jù)條件列方程組，解得即可，（2）設(shè)直線方程，與橢圓方程聯(lián)立方程組，利用韋達(dá)定理解得B點(diǎn)坐標(biāo)，再根據(jù)條件得T點(diǎn)坐標(biāo)，代入圓方程，解得直線斜率，即得結(jié)果.

解：（1）由橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)為知:，即.①.

又因?yàn)橹本�的方程為，即，所以.

由①解得.

故所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.

（2）假設(shè)存在過點(diǎn)的直線適合題意，則結(jié)合圖形易判斷知直線的斜率必存在，

于是可設(shè)直線的方程為，

由，得.（*）

因?yàn)辄c(diǎn)是直線與橢圓的一個(gè)交點(diǎn)，且

所以，所以，

即點(diǎn).

所以，即.

因?yàn)辄c(diǎn)在圓上，所以，

化簡(jiǎn)得，解得，所以.

經(jīng)檢驗(yàn)知，此時(shí)（*）對(duì)應(yīng)的判別式，滿足題意.

故存在滿足條件的直線，其方程為.