Question

已知橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的左頂點為A，左、右焦點分別為F₁，F(xiàn)₂，且圓C：x2+y2+

3

x-3y-6=0過A，F(xiàn)₂兩點．
（1）求橢圓標準的方程；
（2）設直線PF₂的傾斜角為α，直線PF₁的傾斜角為β，當β-α=

2π

3

時，證明：點P在一定圓上；
（3）設橢圓的上頂點為Q，證明：PQ=PF₁+PF₂．

Answer 1

分析：（1）由圓C：x2+y2+

3

x-3y-6=0確定A，F(xiàn)₂兩點的坐標，即可求得橢圓方程；
（2）設點P（x，y），因為F₁（-

3

，0），F(xiàn)₂（

3

，0），則可求kPF1，kPF2，利用β-α=

2π

3

，及差角的正切公式，即可證得結論；
（3）利用兩點間的距離公式，計算|PQ|²=12-4y，計算出（|PF₁|+|PF₂|）²，即可得到結論．

解答：（1）解：圓x2+y2+

3

x-3y-6=0與x軸交點坐標為A(-2

3

，0)，F2(

3

，0)，
故a=2

3

，c=

3

，所以b=3，
∴橢圓方程是：

x2

12

+

y2

9

=1．
（2）證明：設點P（x，y），因為F₁（-

3

，0），F(xiàn)₂（

3

，0），則kPF1=tanβ=

y

x+ 3

，kPF2=tanα=

y

x- 3

，
因為β-α=

2π

3

，所以tan（β-α）=-

3

．
因為tan（β-α）=

tanβ-tanα

1+tanαtanβ

=

-2 3 y

x2+y2-3

，所以

-2 3 y

x2+y2-3

=-

3

．
化簡得x²+y²-2y=3．
所以點P在定圓x²+y²-2y=3上．
（3）證明：∵|PQ|²=x²+（y-3）²=x²+y²-6y+9，x²+y²=3+2y，∴|PQ|²=12-4y．
又|PF₁|²=（x+

3

）²+y²=2y+6+2

3

x，|PF₂|²=（x-

3

）²+y²=2y+6-2

3

x，
∴2|PF₁|×|PF₂|=2

4(y+3)2-12x2

=4

(y+3)2-3x2

，
因為3x²=9-3y²+6y，所以2|PF₁|×|PF₂|=4

4y2

，
∵β=α+

2π

3

＞

2π

3

，又點P在定圓x²+y²-2y=3上，∴y＜0，
所以2|PF₁|×|PF₂|=-8y，
從而（|PF₁|+|PF₂|）²=|PF₁|²+2|PF₁|×|PF₂|+|PF₂|²=4y+12-8y=12-4y=|PQ|²．
所以|PQ|=|PF₁|+|PF₂|．

點評：本題考查橢圓的標準方程，考查差角的正切公式，考查距離公式，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．