Question

19．已知函數(shù)$f（x）=4cosωx•sin（ωx+\frac{π}{4}）$（ω＞0）的最小正周期為π．
（Ⅰ）求ω的值；
（Ⅱ）求函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用二倍角和兩角和與差以及輔助角公式基本公式將函數(shù)化為y=Asin（ωx+φ）的形式，再利用周期公式求ω的值
（Ⅱ）將內(nèi)層函數(shù)看作整體，放到正弦函數(shù)的增區(qū)間上，解不等式得函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；

解答 解：（Ⅰ）$f（x）=4cosωx•sin（ωx+\frac{π}{4}）$=$2\sqrt{2}sinωx•cosωx+2\sqrt{2}{cos^2}ωx$=$\sqrt{2}（sin2ωx+cos2ωx）+\sqrt{2}$=$2sin（2ωx+\frac{π}{4}）+\sqrt{2}$．
∵f（x）的最小正周期為π，且ω＞0，
從而有$\frac{2π}{2ω}=π$，故ω=1．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知$f（x）=2sin（2x+\frac{π}{4}）+\sqrt{2}$，
令$-\frac{π}{2}+2kπ≤2x+\frac{π}{4}≤\frac{π}{2}+2kπ$，k∈Z，
∴有$-\frac{3π}{4}+2kπ≤2x≤\frac{π}{4}+2kπ$，k∈Z，
解得$-\frac{3π}{8}+kπ≤x≤\frac{π}{8}+kπ$，k∈Z．
故得f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為$[{-\frac{3π}{8}+kπ，\frac{π}{8}+kπ}]$，k∈Z．

點評 本題主要考查對三角函數(shù)的化簡能力和三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)的運用，利用三角函數(shù)公式將函數(shù)進(jìn)行化簡是解決本題的關(guān)鍵．屬于中檔題．