Question

20．已知x²-2ax+3a-1＞0，x∈（0，+∞），求a的取值范圍．

Answer 1

分析 對x討論，當(dāng)x=$\frac{3}{2}$時(shí)，不等式顯然成立；當(dāng)0＜x＜$\frac{3}{2}$時(shí)，當(dāng)x＞$\frac{3}{2}$時(shí)，運(yùn)用參數(shù)分離，及基本不等式，結(jié)合恒成立思想即可得到所求范圍．

解答 解：x²-2ax+3a-1＞0即為
（x²-1）+a（3-2x）＞0，①
當(dāng)x=$\frac{3}{2}$時(shí)，①顯然成立；
當(dāng)0＜x＜$\frac{3}{2}$時(shí)，①可化為a＞$\frac{1-{x}^{2}}{3-2x}$，
令t=3-2x（t＞0），則a＞$\frac{1}{4}$（6-t-$\frac{5}{t}$），
而t+$\frac{5}{t}$≥2$\sqrt{5}$，當(dāng)且僅當(dāng)t=$\sqrt{5}$取得最小值．
即有$\frac{1}{4}$（6-t-$\frac{5}{t}$）≤$\frac{3-\sqrt{5}}{2}$，即有a＞$\frac{3-\sqrt{5}}{2}$；
當(dāng)x＞$\frac{3}{2}$時(shí)，①可化為a＜$\frac{1-{x}^{2}}{3-2x}$，
令t=3-2x（t＜0），則a＜$\frac{1}{4}$（6-t-$\frac{5}{t}$），
而-t+（-$\frac{5}{t}$）≥2$\sqrt{5}$，當(dāng)且僅當(dāng)t=-$\sqrt{5}$取得最小值．
即有$\frac{1}{4}$（6-t-$\frac{5}{t}$）≥$\frac{3+\sqrt{5}}{2}$，
即有a＜$\frac{3+\sqrt{5}}{2}$．
綜上可得$\frac{3-\sqrt{5}}{2}$＜a＜$\frac{3+\sqrt{5}}{2}$．

點(diǎn)評 本題考查函數(shù)的恒成立問題，注意運(yùn)用參數(shù)分離和基本不等式求最值，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．