Question

（普通班學(xué)生做）在△ABC中，tanA=

1

4

，tanB=

3

5

．
（1）求角C的大��；
（2）若△ABC最大邊的邊長(zhǎng)為

17

，求最小邊的邊長(zhǎng)及△ABC的面積．

Answer 1

考點(diǎn)：正弦定理,余弦定理

專題：解三角形

分析：（1）由內(nèi)角和定理，以及誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)tanC，將tanA與tanB代入值代入求出tanC的值，即可確定出C的度數(shù)；
（2）由C的度數(shù)判斷出AB為最大邊，根據(jù)tanA與tanB的大小判斷出BC為最小邊，由tanA的值，利用同角三角函數(shù)間基本關(guān)系求出sinA的值，同理求出sinB的值，利用正弦定理求出BC的長(zhǎng)，再利用三角形面積公式求出三角形ABC面積即可．

解答： 解：（1）∵C=π-（A+B），
∴tanC=-tan（A+B）=-

1 4 + 3 5

1- 1 4 × 3 5

=-1，
又∵0＜C＜π，
∴C=

3π

4

；
（2）∵C=

3π

4

，∴AB邊最大，即AB=

17

，
又∵tanA＜tanB，A，B∈（0，

π

2

），
∴角A最小，BC邊為最小邊，
由

tanA= sinA cosA = 1 4 sin2A+cos2A=1

，且A∈（0，

π

2

），得sinA=

17

17

，
同理得到sinB=

3 34

34

，
由正弦定理得：

AB

sinC

=

BC

sinA

得：BC=

ABsinA

sinC

=

2

，
則S_△ABC=

1

2

AB•BC•sinB=

1

2

×

17

×2×

3 34

34

=

3 2

2

．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了正弦定理，同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系，三角形面積公式，以及特殊角的三角函數(shù)值，熟練掌握正弦定理是解本題的關(guān)鍵．