在正三角形ABC中,E、F、P分別是AB、AC、BC邊上的點(diǎn),且滿足=== (如圖(1)),將△AEF沿EF折起到△EF的位置,使二面角EFB成直二面角,連接B、P(如圖(2)).

(1)求證: E⊥平面BEP;
(2)求直線E與平面BP所成角的大小.

(1)見解析；(2)直線E與平面BP所成角的大小為.

解析試題分析：(1)為計(jì)算上的便利，不妨設(shè)正三角形ABC的邊長(zhǎng)為3,

利用已知條件首先得到△ADF是正三角形.再推出EF⊥AD,∠EB為二面角EFB的平面角,根據(jù)二面角EFB為直二面角,得到E⊥BE.
又∵BE∩EF=E,∴E⊥平面BEF,即E⊥平面BEP.
(2)建立空間直角坐標(biāo)系,利用“空間向量方法”求角.
試題解析： (1)不妨設(shè)正三角形ABC的邊長(zhǎng)為3,

則在圖(1)中,取BE的中點(diǎn)D,連接DF,
∵===,∴FA=AD=2.又∠A=60°,
則△ADF是正三角形.又AE=ED=1,∴EF⊥AD,
∴在圖(2)中有E⊥EF,BE⊥EF,∴∠EB為二面角EFB的平面角,
∵二面角EFB為直二面角,∴E⊥BE.
又∵BE∩EF=E,∴E⊥平面BEF,即E⊥平面BEP.
(2)由(1)可知E⊥平面BEP,BE⊥EF,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,
則E(0,0,0),  (0,0,1),B(2,0,0).連接DP,由(1)知EF

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相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

如圖1，在△ABC中，BC=3，AC=6，∠C=90°，且DE∥BC，將△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，使A1D⊥CD，如圖2。

（1）求證：BC⊥平面A1DC；
（2）若CD=2，求BE與平面A1BC所成角的正弦值。

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

如圖幾何體中,四邊形為矩形，，，，，為的中點(diǎn)，為線段上的一點(diǎn)，且.

（1）證明：面；
（2）證明：面面；
（3）求三棱錐的體積.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

如圖，在四棱錐中，底面是邊長(zhǎng)為1的菱形，，底面，，為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)，于，如圖建立空間直角坐標(biāo)系.

（1）求出平面的一個(gè)法向量并證明平面；
（2）求二面角的余弦值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

)如圖所示，在三棱錐P－ABC中，AB＝BC＝，平面PAC⊥平面ABC，PD⊥AC于點(diǎn)D，AD＝1，CD＝3，PD＝.
 
(1)證明：△PBC為直角三角形；
(2)求直線AP與平面PBC所成角的正弦值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

如圖，在四棱錐P－ABCD中，PC⊥底面ABCD，底面ABCD是直角梯形，AB⊥AD，AB∥CD，AB＝2AD＝2CD＝2，E是PB的中點(diǎn)．
 
(1)求證：平面EAC⊥平面PBC；
(2)若二面角P－AC－E的余弦值為，求直線PA與平面EAC所成角的正弦值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

如圖，四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，O為底面中心，A1O⊥平面ABCD，AB＝AA1＝.

(1)證明：A1C⊥平面BB1D1D；
(2)求平面OCB1與平面BB1D1D的夾角θ的大�。�

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

已知四棱錐的底面是正方形，底面，是上的任意一點(diǎn).

（1）求證：平面平面；
（2）當(dāng)時(shí)，求二面角的大小.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

如圖，在三棱柱中，△是邊長(zhǎng)為的等邊三角形，平面，，分別是，的中點(diǎn).

（1）求證：∥平面；
（2）若為上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)與平面所成最大角的正切值為時(shí)，求平面 與平面所成二面角（銳角）的余弦值.

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