Question

14．已知各項均不為0的等差數列{a_n}前n項和為S_n，滿足S₄=2a₅，a₁a₂=a₄，數列{b_n}滿足b_n+1=2b_n，b₁=2．
（1）求數列{a_n}，{b_n}的通項公式；
（2）設c_n=$\frac{{{a_n}{b_n}}}{2}$，求數列{c_n}的前n項和T_n．

Answer 1

分析 （1）設等差數列{a_n}的公差為d，由S₄=2a₅，a₁a₂=a₄，可得4a₁+6d=2（a₁+4d），a₁（a₁+d）=a₁+3d，解得a₁，d，即可得出．利用等比數列的通項公式即可得出b_n．
（2）${c_n}=\frac{{{a_n}{b_n}}}{2}=n{2^n}$，利用“錯位相減法”與等比數列的求和公式即可得出．

解答 解：（1）設等差數列{a_n}的公差為d，∵S₄=2a₅，a₁a₂=a₄，
∴4a₁+6d=2（a₁+4d），a₁（a₁+d）=a₁+3d，解得a₁=2，d=2．
則a_n=2+2（n-1）=2n．
由數列{b_n}滿足b_n+1=2b_n，b₁=2．
∴數列{b_n}是等比數列，公比為2．
${b_n}={2^n}$．
（2）${c_n}=\frac{{{a_n}{b_n}}}{2}=n{2^n}$，
則${T_n}=1•{2^1}+2•{2^2}+3•{2^3}+…+n{2^n}$，
$2{T_n}=1•{2^2}+2•{2^3}+3•{2^4}+…+n{2^{n+1}}$，
兩式相減得$-{T_n}=1•{2^1}+1•{2^2}+1•{2^3}+…+{2^n}-n{2^{n+1}}$=$\frac{2（{2}^{n}-1）}{2-1}$-n•2ⁿ⁺¹=（1-n）•2ⁿ⁺¹-2，
整理得T_n=（n-1）•2ⁿ⁺¹+2．

點評 本題考查了等差數列與等比數列的通項公式及其求和公式、“錯位相減法”，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．