Question

【題目】已知函數(shù)f（x）= ax3﹣bex（a∈R，b∈R），且f（x）在x=0處的切線與x﹣y+3=0垂直．
（1）若函數(shù)f（x）在[ ，1]存在單調(diào)遞增區(qū)間，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（2）若f′（x）有兩個(gè)極值點(diǎn)x1 ， x2 ， 且x1＜x2 ， 求a的取值范圍；
（3）在第二問的前提下，證明：﹣ ＜f′（x1）＜﹣1．

Answer 1

【答案】
（1）解：因?yàn)閒'（x）=ax2﹣bex，所以f'（0）=﹣b=﹣1，所以b=1

由前可知，f'（x）=ax2﹣ex

根據(jù)題意：f'（x）＞0在 上有解，即ax2﹣ex＞0在 上有解

即 在 上有解，令 ，故只需

所以 ，所以，當(dāng) 時(shí)，g'（x）＜0，所以g（x）在 上單調(diào)遞減，

所以g（x）min=g（1）=e，所以 a＞e

（2）解：令h（x）=f'（x），則h（x）=ax2﹣ex，所以h'（x）=2ax﹣ex

由題可知，h'（x）=0有兩個(gè)根x1，x2，即2ax﹣ex=0有兩個(gè)根x1，x2，

又x=0顯然不是該方程的根，所以方程 有兩個(gè)根，

設(shè)φ（x）= ，則φ′（x）= ，當(dāng)x＜0時(shí)，φ'（x）＜0，φ（x）單調(diào)遞減；

當(dāng)0＜x＜1時(shí)，φ′（x）＜0，φ（x）單調(diào)遞減；當(dāng)x＞1時(shí)，φ′（x）＞0，φ（x）單調(diào)遞增．

故要使方程2a= 有兩個(gè)根，只需2a＞φ（1）=e，即a＞ ，

所以a的取值范圍是（ ，+∞）

（3）解：由（2）得：0＜x1＜1＜x2

且由h'（x1）=0，得2ax1﹣ =0，所以a= ，x1∈（0，1）

所以f′（x1）=h（x1）=a ﹣ = （ ﹣1），x1∈（0，1），

令r（t）=et（ ﹣1），（0＜t＜1），則r′（t）=et（ ）＜0，

r（t）在（0，1）上單調(diào)遞減，

所以r（1）＜r（t）＜r（0），即﹣ ＜f′（x1）＜﹣1．

【解析】（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，問題轉(zhuǎn)化為 在 上有解，令 ，故只需 ，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出a的范圍即可；（2）令h（x）=f'（x），則h（x）=ax2﹣ex ， 問題轉(zhuǎn)化為方程 有兩個(gè)根，設(shè)φ（x）= ，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出a的范圍即可；（3）求出f′（x1）= （ ﹣1），x1∈（0，1），令r（t）=et（ ﹣1），（0＜t＜1），根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性證明即可．
【考點(diǎn)精析】本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和函數(shù)的極值與導(dǎo)數(shù)的相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，需要掌握一般的,函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)的正負(fù)有如下關(guān)系： 在某個(gè)區(qū)間內(nèi)，(1)如果，那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間單調(diào)遞增；(2)如果，那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間單調(diào)遞減；求函數(shù)的極值的方法是:（1）如果在附近的左側(cè),右側(cè),那么是極大值（2）如果在附近的左側(cè),右側(cè),那么是極小值才能正確解答此題．