Question

已知數(shù)列{a_n}是等差數(shù)列，數(shù)列{b_n}是等比數(shù)列，且對任意的n∈N^*，都有a1b1+a2b2+a3b3+…+anbn=n•2n+3．
（1）若{b_n}的首項(xiàng)為4，公比為2，求數(shù)列{a_n+b_n}的前n項(xiàng)和S_n；
（2）若a₁=8，
   ①求數(shù)列{a_n}與{b_n}的通項(xiàng)公式；
   ②試探究：數(shù)列{b_n}中是否存在某一項(xiàng)，它可以表示為該數(shù)列中其它r（r∈N^*，r≥2）項(xiàng)的和？若存在，請求出該項(xiàng)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）由已知條件，先求出b_n=2ⁿ⁺¹，再由a1b1+a2b2+a3b3+…+anbn=n•2n+3，分別求出a₁，a₂，由此能求出數(shù)列{a_n+b_n}的前n項(xiàng)和S_n．
（2）①由已知條件求出a₁=8，b₁=2，設(shè)等差數(shù)列{a_n}的公差為d，等比數(shù)列{b_n}的公比為q，列出方程組求出d=4，q=2，由此能求出數(shù)列{a_n}與{b_n}的通項(xiàng)公式．
②由b_n=2ⁿ，能推導(dǎo)出數(shù)列{b_n}中不存在某一項(xiàng)可以表示為該數(shù)列中其它r（r∈N^*，r≥2）項(xiàng)的和．

解答： 解：（1）∵{b_n}是等比數(shù)列，首項(xiàng)為4，公比為2，
∴b_n=4•2^n-1=2ⁿ⁺¹，
∵數(shù)列{a_n}是等差數(shù)列，且對任意的n∈N^*，
都有a1b1+a2b2+a3b3+…+anbn=n•2n+3，
∴a₁b₁=2⁴，∴a1=

24

b1

=

24

4

=4，
a1b1+a2b2=2•25，
∴a2b2=2•25-24=48，
∴a₂=

48

b2

=

48

23

=6，
∴d=a₂-a₁=6-4=2，
∴a_n=4+（n-1）×2=2n+2．
∴S_n=（a₁+a₂+a₃+…+a_n）+（b₁+b₂+…+b_n）
=[4n+

n(n-1)

2

×2]+

4(1-2n)

1-2

=n²+3n+2ⁿ⁺²-4．
（2）①∵a₁=8，a1b1+a2b2+a3b3+…+anbn=n•2n+3，
∴8b₁=2⁴，解得b₁=2，
設(shè)等差數(shù)列{a_n}的公差為d，等比數(shù)列{b_n}的公比為q，
則

16+(8+d)•2q=2•25 2•25+(8+2d)•2q2=3•26

，
解得d=4，q=2，或d=-2，q=4（舍）．
∴a_n=8+（n-1）×4=4n+4，
bn=2•2n-1=2ⁿ．
②∵b_n=2ⁿ，
∴數(shù)列{b_n}中不存在某一項(xiàng)可以表示為該數(shù)列中其它r（r∈N^*，r≥2）項(xiàng)的和．
理由如下：
假設(shè)存在第λ項(xiàng)可以表示為該數(shù)列中其它r（r∈N^*，r≥2）項(xiàng)的和，
則2^λ=2^m+1+2^m+2+…+2^m+r=2^m+1（1+2+…+2^r-1），
∴2^λ-（m+1）=1+2+…+2^r-1，
∵2^λ-（m+1）是偶數(shù)，1+2+…+2^r-1是奇數(shù)，
∴2^λ-（m+1）=1+2+…+2^r-1不成立．
∴數(shù)列{b_n}中是不存在某一項(xiàng)，它可以表示為該數(shù)列中其它r（r∈N^*，r≥2）項(xiàng)的和．

點(diǎn)評：本題考查數(shù)列的前n項(xiàng)和的求法，考查數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法，考查數(shù)列中的某一項(xiàng)能否表示為其他幾項(xiàng)和的判斷，解題時(shí)要認(rèn)真審題，要熟練掌握等差數(shù)列、等比數(shù)列的性質(zhì)．