Question

20．對于定義域為D的函數(shù)y=f（x），如果存在區(qū)間[m，n]⊆D，其中m＜n，同時滿足：①f（x）在[m，n]內(nèi)是單調(diào)函數(shù)；②當(dāng)定義域是[m，n]時，f（x）的值域也是[m，n]．
則稱函數(shù)f（x）是區(qū)間[m，n]上的“保值函數(shù)”，區(qū)間[m，n]稱為“保值區(qū)間”．
（1）求證：函數(shù)g（x）=x²-2x不是定義域[0，1]上的“保值函數(shù)”．
（2）若函數(shù)f（x）=2+$\frac{1}{a}$-$\frac{1}{{a}^{2}x}$（a∈R，a≠0）是區(qū)間[m，n]上的“保值函數(shù)”，求a的取值范圍．
（3）對（2）中函數(shù)f（x），若不等式|a²f（x）|≤2x對x≥1恒成立，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義以及“保值函數(shù)”的定義判斷即可；
（2）由f（x）的定義域和值域都是[m，n]，問題等價于方程a²x²-（2a²+a）x+1=0有兩個不等的實數(shù)根，根據(jù)根的判別式判斷即可；
（3）由不等式|a²f（x）|≤2x對x≥1恒成立，令h（x）=2x+$\frac{1}{x}$，易證h（x）在[1，+∞）遞增，同理g（x）=$\frac{1}{x}$-2x[1，+∞）遞減，求出函數(shù)h（x）_min，與函數(shù)g（x）_max，建立不等關(guān)系，解之即可求出a的范圍．

解答 解：（1）g（x）=x²-2x=（x-1）²-1，
x∈[0，1]時，g（x）∈[-1，0]，
根據(jù)函數(shù)g（x）不是定義域[0，1]上的“保值函數(shù)”．
（2））由f（x）的定義域和值域都是[m，n]得f（m）=m，f（n）=n，
因此m，n是方程2+$\frac{1}{a}$-$\frac{1}{{a}^{2}x}$=x的兩個不相等的實數(shù)根，
等價于方程a²x²-（2a²+a）x+1=0有兩個不等的實數(shù)根，
即△=（2a²+a）²-4a²＞0
解得a＞$\frac{1}{2}$或a＜-$\frac{3}{2}$；
（3）a²f（x）=2a²+a-$\frac{1}{x}$，則不等式|a²f（x）|≤2x對x≥1恒成立，
即-2x≤2a²+a-$\frac{1}{x}$≤2x即不等式對x≥1恒成立，
令h（x）=2x+$\frac{1}{x}$，易證h（x）在[1，+∞）遞增，
同理g（x）=$\frac{1}{x}$-2x[1，+∞）遞減，
∴h（x）_min=h（1）=3，g（x）_max=g（1）=-1，
∴$\left\{\begin{array}{l}{{2a}^{2}+a≤3}\\{{2a}^{2}+a≥-1}\end{array}\right.$，
∴-$\frac{3}{2}$≤a≤1且a≠0．

點評 本題主要考查了函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明，以及函數(shù)恒成立問題和不等式的綜合，同時考查了轉(zhuǎn)化與劃歸的思想，屬于綜合題．