Question

已知函數(shù)y=sin²x+2sinxcosx+3cos²x，x∈R．
（1）求該函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間；
（2）求該函數(shù)的最大值及對(duì)應(yīng)的x的值；
（3）求該函數(shù)的對(duì)稱(chēng)軸方程與對(duì)稱(chēng)中心坐標(biāo)．

Answer 1

分析：（1）利用二倍角公式，降次升角，以及兩角和的正弦函數(shù)，化簡(jiǎn)函數(shù)y=sin²x+2sinxcosx+3cos²x為y=

2

sin(2x+

π

4

)+2，利用正弦函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間，求該函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間；
（2）利用正弦函數(shù)的最值以及取得最值時(shí)的x值，直接求該函數(shù)的最大值及對(duì)應(yīng)的x的值；
（3）利用正弦函數(shù)的對(duì)稱(chēng)軸和對(duì)稱(chēng)中心，直接求該函數(shù)的對(duì)稱(chēng)軸方程與對(duì)稱(chēng)中心坐標(biāo)．

解答：解：y=sin²x+2sinxcosx+3cos²x=

1-cos2x

2

+sin2x+

3(1+cos2x)

2

=sin2x+cos2x+2=

2

sin(2x+

π

4

)+2．（5分）
（1）由-

π

2

+2kπ≤2x+

π

4

≤

π

2

+2kπ，得-

3π

8

+kπ≤x≤

π

8

+kπ(k∈Z)．
所以函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為[-

3π

8

+kπ，  

π

8

+kπ](k∈Z).（8分）
（2）令2x+

π

4

=

π

2

+2kπ，得x=

π

8

+kπ(k∈Z)，
所以當(dāng)x=

π

8

+kπ(k∈Z)時(shí)，ymax=2+

2

．（12分）
（3）由2x+

π

4

=

π

2

+kπ，得x=

π

8

+

kπ

2

(k∈Z)，
所以該函數(shù)的對(duì)稱(chēng)軸方程為x=

π

8

+

kπ

2

(k∈Z)．
由2x+

π

4

=kπ，得x=-

π

8

+

kπ

2

(k∈Z)，
所以，該函數(shù)的對(duì)稱(chēng)中心為：(-

π

8

+

kπ

2

，  0)(k∈Z)．（16分）

點(diǎn)評(píng)：本題是基礎(chǔ)題，考查正弦函數(shù)的單調(diào)性，對(duì)稱(chēng)軸方程，對(duì)稱(chēng)中心，最值，利用基本函數(shù)的基本性質(zhì)，是集合本題的關(guān)鍵，基本知識(shí)掌握的好壞，直接影響解題效果．