Question

18．已知雙曲線$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1（{a＞0，b＞0}）$的左、右焦點分別為${F_1}{、_{_1}}{F_2}$，點B是雙曲線的右頂點，A是其虛軸的端點，如圖所示．若${S_{△AB{F_2}}}=\frac{1}{4}{S_{△AOB}}$，則雙曲線的兩條漸近線的夾角（銳角或直角）的正切值為（　�。�

• A． $\frac{5}{4}$
• B． $\frac{24}{7}$
• C． $-\frac{21}{24}$
• D． $\frac{{2\sqrt{5}}}{5}$

Answer 1

分析 由題意可得A（0，b），B（a，0），F(xiàn)₂（c，0），運用三角形的面積公式，結合雙曲線的a，b，c的關系，可得a，b的關系，可得漸近線方程，再由兩直線夾角的正切公式，計算即可得到所求值．

解答 解：由題意可得A（0，b），B（a，0），F(xiàn)₂（c，0），
由${S_{△AB{F_2}}}=\frac{1}{4}{S_{△AOB}}$，
可得$\frac{1}{2}$b•（c-a）=$\frac{1}{4}$×$\frac{1}{2}$ab，
即有c=$\frac{5}{4}$a，
b=$\sqrt{{c}^{2}-{a}^{2}}$=$\frac{3}{4}$a，
可得雙曲線的漸近線方程為y=±$\frac{3}{4}$x，
則雙曲線的兩條漸近線的夾角的正切值為：
|$\frac{\frac{3}{4}-（-\frac{3}{4}）}{1-\frac{9}{16}}$|=$\frac{24}{7}$．
故選：B．

點評 本題考查雙曲線的方程和性質，主要是漸近線方程的運用，考查三角形的面積公式的運用，以及運算能力，屬于中檔題．