Question

已知函數(shù)對任意的恒有成立.
(1)記如果為奇函數(shù)，求b，c滿足的條件；
(2)當b=0時，記若在）上為增函數(shù)，求c的取值范圍；
(3)證明：當時，成立；

Answer 1

（1）；（2）；（3）證明見解析．

試題分析：（1）首先要討論題設的先決條件對恒成立，，即恒成立，這是二次不等式，由二次函數(shù)知識，有，化簡之后有，從而．為上的奇函數(shù)，可根據(jù)奇函數(shù)的必要條件有，得，則，顯然滿足，為奇函數(shù)，也可由恒成立，也可求得；（2）時，在上是增函數(shù)，我們用增函數(shù)的定義，即設，恒成立，分析后得出的范圍；（3）
，問題變成證明在時恒成立，在的情況下，，而，可見，那當時，一定恒有，問題證畢．
試題解析：：（1）因為任意的恒有成立，
所以對任意的，即恒成立．
所以，從而.，即：．
設的定義域為，因為為奇函數(shù)，
所以對于任意，成立．解得．
所以．
（2）當時，記（）
因為在上為增函數(shù)，所以任取，時，
恒成立．
即任取，，成立，也就是成立．
所以，即的取值范圍是．
（3）由（1）得，且，
所以，因此.
故當時，有.
即當時，.