Question

5．設(shè)函數(shù)f（x）=x²-|x²-mx-4|（m為常數(shù)）x∈[-4，4]，f（x）經(jīng)過點（2，4）．
（1）求m的值，并畫出f（x）的圖象；
（2）求函數(shù)f（x）的最大值與最小值．

Answer 1

分析 （1）由題意知f（2）=4-|4-2m-4|=4，解得m=0，從而f（x）=x²-|x²-4|=$\left\{\begin{array}{l}{4，-4≤x≤-2或2≤x≤4}\\{2{x}^{2}-4，-2＜x＜2}\end{array}\right.$，由此能畫出函數(shù)的圖象
（2）結(jié)合圖象能求出函數(shù)f（x）的最大值和最小值．

解答 解：（1）∵函數(shù)f（x）=x²-|x²-mx-4|（m為常數(shù)）x∈[-4，4]，f（x）經(jīng)過點（2，4），
∴由題意可得f（2）=4，即f（2）=4-|4-2m-4|=4，解得m=0；
∴f（x）=x²-|x²-4|，
當(dāng)x²-4≥0，解得x≥2或x≤-2，
由-4≤x≤4，即有-4≤x≤-2或2≤x≤4，
可得f（x）=x²-（x²-4）=4，為常數(shù)函數(shù)；
當(dāng)x²-4＜0，解得-2＜x＜2，
由-4≤x≤4，即有-2＜x＜2，
可得f（x）=x²-（4-x²=2x²-4，
單調(diào)減區(qū)間為（-2，0），增區(qū)間為（0，2），
∴f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{4，-4≤x≤-2或2≤x≤4}\\{2{x}^{2}-4，-2＜x＜2}\end{array}\right.$，
畫出函數(shù)的圖象，如右圖．
（2）由（1）結(jié)合圖象得：
當(dāng)x=0時，函數(shù)f（x）取最小值f（x）_min=f（0）=2×0²-4=-4．
當(dāng)-4≤x≤-2或2≤x≤4時，函數(shù)f（x）取最大值f（x）_max=4．

點評 本題考查實數(shù)值的求法，考查函數(shù)圖象的作法，考查函數(shù)的最大值與最小值的求法，考查函數(shù)性質(zhì)、函數(shù)圖象、函數(shù)最值等基礎(chǔ)知識，考查推理論證能力、運算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想，函數(shù)與方程思想、分類與整合思想，是中檔題．