Question

【題目】如圖，在三棱錐中，，，，，分別是，的中點，在上且.

（I）求證：；

（II）求直線與平面所成角的正弦值；

（III）在線段上是否存在點，使二面角的大小為？若存在，求出的長；若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】I.見解析；Ⅱ. ；Ⅲ.滿足條件的點G存在，且

【解析】

I:建立空間坐標(biāo)系，求出相應(yīng)的直線的方向向量和平面的法向量，證明向量的平行即可；Ⅱ：求出平面SBD的法向量，直線SA的方向向量，由公式可得到線面角；Ⅲ.假設(shè)滿足條件的點G存在，并設(shè)DG=1.則G（1，t，0），求出平面AFG的法向量，和面AFE的法向量，由二面角的平面角的公式得到關(guān)于t的方程，進(jìn)而求解.

I.以A為坐標(biāo)原點，分別以AC，AB.AS為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系C-xyz.則A（0，0，0），B（0，2，0），C（2，0，0），S（0，0，2），D（1，0，0），E（1，1，0）

由SF=2FE得F(,,)

平面

平面SBC

Ⅱ.設(shè)（x1，y1，z1）是平面SBD的一個法向量，

由于，則有

令，則，即。

設(shè)直線SA與平面SBD所成的角為，而，

所以

Ⅲ.假設(shè)滿足條件的點G存在，并設(shè)DG=.則G（1，t，0）.

所以

設(shè)平面AFG的法向量為，

則

取，得

即.

設(shè)平面AFE的法向量為

則

取，得，即

由得二面角G-AF-E的大小為得

，化簡得，

又，求得，于是滿足條件的點G存在，且