【題目】已知函數(shù)，其中是自然對數(shù)的底數(shù).

（1）證明：當時， ；

（2）設為整數(shù)，函數(shù)有兩個零點，求的最小值.

【答案】（1）見解析；（2）1

【解析】試題分析：（1）要證明不等式成立，構(gòu)造設，求導，利用單調(diào)性即可證明，從而證明整個不等式組（2）結(jié)合（1）問結(jié)論得當時無零點，當時，利用導數(shù)求得其單調(diào)性當時， ， 單調(diào)遞減，當時， ， 單調(diào)遞增，然后求得，從而得到兩個零點

解析：（1）證明：設，則，令，得

當時， ， 單調(diào)遞減

當時， ， 單調(diào)遞增

∴，當且僅當時取等號，∴ 對任意，

∴當時， ，∴當時，

∴當時，

（2）函數(shù)的定義域為

當時，由（Ⅰ）知， ，故無零點

當時， ，

∵， ，且為上的增函數(shù)

∴有唯一的零點，當時， ， 單調(diào)遞減

當時， ， 單調(diào)遞增

∴的最小值為

由為的零點知， ，于是

∴的最小值，由知， ，即

又，

∴在上有一個零點，在上有一個零點

∴有兩個零點，綜上所述， 的最小值為1.

練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】隨著資本市場的強勢進入，互聯(lián)網(wǎng)共享單車“忽如一夜春風來”，遍布了一二線城市的大街小巷.為了解共享單車在市的使用情況，某調(diào)查機構(gòu)借助網(wǎng)絡進行了問卷調(diào)查，并從參與調(diào)查的網(wǎng)友中抽取了200人進行抽樣分析，得到表格：（單位：人）

經(jīng)常使用

偶爾或不用

合計

30歲及以下

70

30

100

30歲以上

60

40

100

合計

130

70

200

（1）根據(jù)以上數(shù)據(jù)，能否在犯錯誤的概率不超過0.15的前提下認為市使用共享單車情況與年齡有關(guān)？

（2）現(xiàn)從所抽取的30歲以上的網(wǎng)友中利用分層抽樣的方法再抽取5人.

（i）分別求這5人中經(jīng)常使用、偶爾或不用共享單車的人數(shù)；

（ii）從這5人中，再隨機選出2人贈送一件禮品，求選出的2人中至少有1人經(jīng)常使用共享單車的概率.

參考公式： ，其中.

參考數(shù)據(jù)：

0.15

0.10

0.05

0.025

0.010

2.072

2.706

3.841

5.024

6.635

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】如圖，四棱錐中，底面是邊長為的菱形, .

（1）求證：平面平面；

（2）若，求銳角二面角的余弦值.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】中國古代數(shù)學名著《九章算術(shù)》中有這樣一個問題:今有牛、馬、羊食人苗，苗主責之粟五斗，羊主曰:“我羊食半馬.”馬主曰:“我馬食半牛.”今欲衰償之，問各出幾何？此問題的譯文是:今有牛、馬、羊吃了別人的禾苗，禾苗主人要求賠償5斗粟.羊主人說:“我羊所吃的禾苗只有馬的一半.”馬主人說:“我馬所吃的禾苗只有牛的一半.”打算按此比例償還，他們各應償還多少？已知牛、馬、羊的主人各應償還升， 升， 升，1斗為10升，則下列判斷正確的是( )

A. ， ， 依次成公比為2的等比數(shù)列，且

B. ， ， 依次成公比為2的等比數(shù)列，且

C. ， ， 依次成公比為的等比數(shù)列，且

D. ， ， 依次成公比為的等比數(shù)列，且

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】某石化集團獲得了某地深海油田區(qū)塊的開采權(quán)，集團在該地區(qū)隨機初步勘探了部分幾口井，取得了地質(zhì)資料.進入全面勘探時期后，集團按網(wǎng)絡點來布置井位進行全面勘探，由于勘探一口井的費用很高，如果新設計的井位與原有井位重合或接近，便利用舊井的地質(zhì)資料，不必打這口新井，以節(jié)約勘探費用，勘探初期數(shù)據(jù)資料見如表：

（參考公式和計算結(jié)果：

， ， ， ）

（1）1~6號舊井位置線性分布，借助前5組數(shù)據(jù)求得回歸直線方程為，求的值，并估計的預報值.

（2）現(xiàn)準備勘探新井，若通過1，3，5，7號并計算出的， 的值（， 精確到0.01）相比于（1）中的， ，值之差不超過10%，則使用位置最接近的已有舊井，否則在新位置打開，請判斷可否使用舊井？

（3）設出油量與勘探深度的比值不低于20的勘探井稱為優(yōu)質(zhì)井，那么在原有6口井中任意勘探4口井，求勘探優(yōu)質(zhì)井數(shù)的分布列與數(shù)學期望.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】小明設置的手機開機密碼若連續(xù)3次輸入錯誤，則手機被鎖定，5分鐘后，方可重新輸入．

某日，小明忘記了開機密碼，但可以確定正確的密碼是他常用的4個密碼之一，于是，他

決定逐個（不重復）進行嘗試．

（1）求手機被鎖定的概率；

（2）設第次輸入后能成功開機，求的分布列和數(shù)學期望．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知是雙曲線的左右焦點，以為直徑的圓與雙曲線的一條漸近線交于點，與雙曲線交于點，且均在第一象限，當直線時，雙曲線的離心率為，若函數(shù)，則（）

A. 1 B. C. 2 D.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知m＞0，p：(x＋2)(x－6)≤0，q：2－m≤x≤2＋m.

(1)若p是q成立的必要不充分條件，求實數(shù)m的取值范圍；

(2)若是 成立的充分不必要條件，求實數(shù)m的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知橢圓的右焦點為，過且與軸垂直的弦長為3.

（1）求橢圓的標準方程；

（2）過作直線與橢圓交于兩點，問：在軸上是否存在點，使為定值，若存在，請求出點坐標，若不存在，請說明理由.

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